Google This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scanncd by Googlc as part of a projcct to make the world's books discoverablc onlinc. It has survived long enough for the copyright to cxpirc and thc book to cntcr thc public domain. A public domain book is one that was never subjcct to copyright or whose legal copyright term has expircd. Whcthcr a book is in thc public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discovcr. Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from thc publishcr to a library and fmally to you. Usage guidelines Googlc is proud to partncr with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to thc public and wc arc mcrcly thcir custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken stcps to prcvcnt abusc by commcrcial partics, including placing lcchnical rcstrictions on automatcd qucrying. Wc also ask that you: + Make non-commercial use ofthefiles Wc dcsigncd Googlc Book Scarch for usc by individuals, and wc rcqucst that you usc thcsc filcs for personal, non-commercial purposes. + Refrainfivm automated querying Do nol send aulomatcd qucrics of any sort to Googlc's systcm: If you arc conducting rcscarch on machinc translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of tcxt is hclpful, plcasc contact us. Wc cncouragc thc use of public domain materials for these purposes and may be able to help. + Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout thisprojcct and hclping thcm lind additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. + Keep it legal Whatcvcr your usc, rcmember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just bccausc wc bclicvc a book is in thc public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countrics. Whcthcr a book is still in copyright varies from country to country, and wc can'l offer guidance on whether any speciflc usc of any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearancc in Googlc Book Scarch mcans it can bc uscd in any manncr anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. About Google Book Search Googlc's mission is to organizc thc world's information and to makc it univcrsally acccssiblc and uscful. Googlc Book Scarch hclps rcadcrs discovcr thc world's books whilc hclping authors and publishcrs rcach ncw audicnccs. You can scarch through thc full icxi of ihis book on thc wcb at |http://books.qooqle.com/| UOTTICA DI CLAUDIO TOLOMEO DA EU6ENI0 CXv^wc^NU^b T\o\ennr\aeus Ammiraglio di Sicilia - Scrittore del Secolo XII BIDOTTA IN LATINO SOVRA LA TRADUZIONB ARABA DI UN TBSTO GRBCO IMPBRFBTTO ORA PER LA PRIMA VOLTA conforme a un oodice della Biblioteca Ambrosiana PER DELIBEBAZIONE DELLA R. ACCADEMIA DELLE SCIENZE DI TORINO pubblioata I)A GILBERTO GOVI Socio della stessa Accademia. = ■'; ■.. '^^ '• >- • • - ' a • TORINO "■"-'''■ ■'•'"' " • * - .. •* * STAMPEEIA REALE DELLA DITTA G. B. PARAVIA' t C. DI I. VlOLlABDl 1885 • ^ • • • » • ••••.• • • • • • t ••• • • • • » •.• • :•••'• • ♦ ^- " • • • ••••• • » • • n. » » • • •-••• : ••• • • :••' • • * • V * • » • • • • • * • •, INTRODUZIONE Glaudio Tolomeo di Pelusio, o, come altri vogliono, di Ptolemaide in Egitto, vissealtempo degli Antonini, cioe nel secondo secolo delVEra Cristiana. Datosi specialmente airAstronomia, osservo in Alessandria, e delle sue osservazioni e di quanto aveano lasciato gli Antichi, compose un trattato, che intitolo : La Grande Composizione, il quale trattato poi tradotto, commentato e molto usato dagli Arabi, ebbe da essi il nome di Almagesto^ nome che conserva ancora ai di nostri. Scrisse egli diversi altri libri di Astronomia, di Geografia, di Gronologia, di Mu- sica; ma parecchi trattati Astrologici attribuiti a Tolomeo e tenuti in gran conto neir^^i^o medio non sono probabilmente opera sua, e il nome di Toio- meo servi soltanto ai loro autori per dar credito alle dottrine Astrologiche contenute in quei volumi. Uno scrittore quasi contemporaneo di Tolomeo, Eliodoro di Larissa (in Tessaha), o Damiano, il quale, secondo alcuni, avrebbe compendiato uno scritto di Ehodoro intorno alla Prospettivay parla di un^Ottica di Tolomeo in cui si dimosiTSi per via di stromenti che la vista, uscendo dalFocchio, va per hnee rette e abbraccia un cono rettangolo. IV Simplicio, filosofo di Cilicia o di Frigia, vissuto nel sesto secolo, ricorda pure YOttica di Tolomeo nei suoi commenti ai quattro libri del Cielo d'Aristotele, e la cita a ogni tratto Ruggero Bacone, il monaco, nel suo Opits Majusy nella Perspectiva^ e negli Sjje- cula mathematicay scritti nel xni secolo (1214-1294). II Regiomontano (1436-1476) si era proposto di stam- parla, e Giorgio Hartmann, ricordando questo pro- getto in una sua dedica della Perspectiva com- munis (1542), dice di possedere anche egli una copia deWOttica di Tolomeo^ e da gli argomenti dei cinque libri nei quali essa h divisa. Federico Risner, nelle Prefazioni alVOttica d'Alhazen e a quella di Vitellone, allude alla Prospettiva di Tolomeo. II Caussin, in una sua Memoria stampata fra quelle deirAccademia delle Iscrizioni e delle Belle Lettere, cita un manoscritto latino della Biblioteca Reale [n 7377] nel quale un tal Professore Saint-Clair parla ancora, nel 1608, ^Q\['Ottica di Tolomeo, Fi- nalmente nel 1611 Ambrogio Rhode [Rhodius] di Kemberg, in una sua Ottica stampata a Wittenberg, cita il libro di Tolomeo e riassume Targomento di ciascuno de' suoi cinque sermoni. Dopo il Rhode , cio^ al cominciare del secolo xvn, sembra spegnersi affatto , se non la ricordanza , la conoscenza almeno dieW' Ottica di Tolomeo, L'eru- ditissimo Gio. Alberto Fabricius nellasua Bibliotheca Graeca e T. C Harles, che la ristampo ampliandola, ritennero perduta YOttica del celebre Astronomo, e lo stesso ripeterono il Lalande nella sua Astronomia^ ii D/ Giuseppe Priestley nella Storia deltOtiica^ Gian Silvano Bailly neWHistoire de V Astronomie Mo- derne^ il Montucla nella prima edizione della sua: HiMoire des Mathematiques e il Dutens nel suo libro suUa Origiiie des decouvertes attribuees aux modernes, E veramente tutti questi scrittori potevano aver ragione, se intendevano parlare del testo greco del- VOltica, forse anche della versione che gli Arabi ne avevano fatta, poiche ne delPuno ne delFaltra si faceva menzione nei cataloghi pubblicati dei Ma- noscritti Greci e Arabi delle diverse bibhoteche. Ma essi avean torto, affermando in modo assoluto che VOttica di Tolomeo fosse perduta, poiche nel Cata- hgo dei Manoscritti conservati in Inghilterra, ve- nuto in luce del 1697, sotto il n' 6570, Glass. XVI, n* 24, Libri latini, della Biblioteca Bodleiana di Oxford (pag. 301, a), trovavasi menzionato il libro: « Plolemaei opticorum sermones 5, ex Arabico (i Latine redditi », e nel Gatalogo dei Godici ma- noscritti della Biblioteca Regia di Parigi stampato nel 1744 era pure registrata (Parte 111, T. IV, pa- gina 339, col. 1*, n"*. 7310) la stessa opera col ti- tolo: Liber Ptolomaei de opticis sive aspectibus, interprete EugeniOy siculo. II primo ad avvedersene fu il Montucla, il quale, nella seconda edizione della sua Storia^ venuta in luce nel 1798, modificando ci6 che avea scritto nella prima, incomincid a parlare, sebbene dubitativa- mente, di una traduzione latina deWOttica di Tolo- VI meo^ registrata da Edward Bernard nel Catalogo della Biblioteca Bodlejana di Oxford. Prima per6 clie il Montucia avesse citato il ma- noscritto di Oxtbrd, Giambattista Venturi, trovandosi a Parigi, nel 1797 avea veduto tra i Codici deiia Biblioteca Nazionale la traduzione latina A^]['Ottica di TolomeOy Tavea trascritta per pubbiicarla, e nel- l'anno seguente ne avea corretto la copia su un Codice migliore e piu antico appartenente alla Bi- blioteca Ambrosiana di Milano (il Codice D. 451 , P. I). Pero, non avendo egli dato allora alle stampe quel suo lavoro, J. J. A. Caussin de Perceval, valente Orientalista, concepi il disegno di stampare il ma- noscritto Parigino, e nel 1798, o nel 1799 ne parlo ad alcuni scienziati e specialmente al Lalande, il quale registro la novella datagli dal Caussin nell'ap- pendice alla sua Bib/iographie Astronomiqiie messa in luce nel 1803. Intanto che il Venturi, occupato in altri studi, taceva, e che il Caussin stava preparando il suo la- voro, il Laplace, nella seconda edizione della sua: Exposition du Sysieme du Monde (1798-99) citava il Manoscritto della Biblioteca Nazionale, prima ancora che il Lalande ne avesse discorso, e nel 1810 ne parlava pure Alessandro de Humboldt nella parle Astronomica del suo viaggio col Bonpland, citando anche la seconda copia che ne possedeva la Bibho- teca Imperiale. Poco dopo, il Venturi, senza smettere il pensiero di stampar VOttica di Tolom^o, nel gennaio del 181 1 . VII lesse in proposito alla Classe di Letteratura e Belle Arti deiristituto Nazionale Italiano un suo scritto: Soj)ra le varie parti delVOttica presso gli antichi, nel quale scritto diede un lungo estratto del libro di Tolomeo, per invogliarne i dotti, e farlo meglio cono- soere. Ma sebbene questa dissertazione del Venturi tbsse stata letta nel 1811, essa non comparve se non nel 1813, e fu stampata a parte nel 1814. Intanto il Delambre nell'ottobre del 1811 discorreva pure del libro di Tolomeo in una Memoria: Sur VOptique de Ptolemee^ comparee d celle qui jjorte fe 7iom d'Euclidej et d celles d' Alhazen et de Vitellon^ ch'egli lesse alla Classe di Scienze Fisiche e Ma- tematiche delFIstituto, e poi stampo nella Connais" sance des Temps pour 1816, e nella sua Histoire de rAstronomie ancienne. In questo lavoro egU parlo dei due codici deiro^^^ca posseduti dalla Biblioteca imperiale, analizzo dottamente le cose trattate nel libro di Tolomeo, e si fermd specialmente sui Ca- pitolo della Rifrazione, per mostrar come Alhazen e Vitellone ne avessero tratto le nozioni fondamen- tali e le tavole. Eccitato dalla pubblicazione del De- lambre, il Caussin si decise a leggere nel maggio e nel settembre del 1812 davanti alla Classe di Storia e di Letteratura delF Istituto , un suo scritto intitoiato: Memoire sur tOptique de Ptolemee, et sur le projet de faire imprimer cet ouvrage d'apres les deux Manuscrits qui existent d la Bibliotheque Impe- riale, che poi stampo nel volume VI delle: MS- moires de VAcademie des Inscriptions et Belles Lettres^ uscito soltanto nel 1822. VIIT Pero, ne il Venturi, morto nel 1822, nh il Caussin de Perceval morto nel 1835 diedero altrimenti alle Stampe YOltica di Tolomeo, la quale, sebbene citata in seguito da parecchi scrittori, rimase inedita. Fu solo nel 1870 che un dottissimo Ellenista francese, l'Egger, avendo tradotto alcuni frammenti greci re- lativi all'Ottica, scoperti in quei giorni a Sakkarah, neirEgitto, richiamo Tattenzione degli studiosi sui manoscrilti latini deirO/if/ca di Tolomeo, augurandosi che qualcuno ne imprendesse la pubblicazione. Lo scrittore di questa Inlroduzione propose al- lora alFAccademia di Torino di far copiare il piu corretto fra gli esemplari conosciuti deirOWica di Tolomeo e di pubblicarlo, compiendo cosi il voto del Venturi e coronando le fatiche del Sicihano Eugenio, il quale, col tradurre dairarabo il libro di Tolomeo (quantunque mutilo), aveva impedito che si perdesse interamente. — L'Accademia pre- sieduta dall'egregio Gonte Sclopis accolse premu- rosamente il progelto e decise di far trascrivere subito ii migUore dei due Codici Ambrosiani, affi- dandone poi la pubbhcazione a chi ne aveva pro- posto la stampa. Uno dei Dottori della Biblioteca Ambrosiana, ii Dott. Antonio Ceruti, volle dare gratuitamente Topera sua per la trascrizione del Codice, che compi in brevissimo tempo, con uno zelo e una precisione veramente mirabili. Finita la trascrizione, TEditore accademico la con- fronto scrupolosamente col testo, poi ne comincio V. ;■■■ subito la stampa che, per la diSicolta della lingua, riusci faticosissima e lunga. Intanto TEditore stesso andava riiacendo le figure, le quali in nessuno dei Godici a lui noti s^accorda- vano esattamente col testo, o perche le avesse sba- giiate il traduttore arabo, o perchS fossero state sformate dagli amanuensi. Fu questo, del ricostruir le figure, un lavoro som- mamente penoso per Toscurita del testo e per gli errori incorsivi nella coUocazione delle lettere. Pare che anco il Risner incontrasse le medesime difficolta quando volle pubblicare VAlhaze7i e il Wiielo, poiche nella Prefazione alla prima di queste opere egli dice: « Denique figuras omnium pro- « positionum de integro conformavi » e nella Pre- fazione deiraltra: « Sed praeter literas in demon- « strationibus transpositas, praeter voces plurimas , w praeter etiam totas sententias omissas, ligurae, tt quae per se sine hteris , sine vocibus, sine scriptis (1 sententiis, rem poterant intelhgenti demonstrare, « pleraeque erant male figuratae, nec demonstratio- « nibus congruentes, et quod etiam foedius est, non « suis, sed alienis theorematis saepius accommodatae : « in quibusdam theorematis nullae omnino fuerunt. « Figuras igitur universas de integro conformavi, stu- « dioseque egi, ne qna istarum ofiFensionum remora M posset in rehquum optices studiosos remorari » . Gompiuto il disegno delle figure (delle quah due sole non si trovano, forse, d'accordo col testo, perch^ di questo non fu possibile intendere il senso) e cor- rette piu volte le bozze deiropera suUa copia esat- tissima che ne era stata eseguita, venne fatto dal- TEditore un ultimo riscontro delle bozze medesime col testo originale, merc^ Taiuto del Dottore Antonio Ceruti, al quale TEditore sente Tobbligo di esprimere qui nuovamente la sua sincera gratitudine. In questi diversi lavori s'era impiegato parecchio tempo, cosi che, mentre si andavano compiendo, chi ne aveva la cura, distratto in altre occupazioni, e tolto alla sua vita sedentaria, si trovo costretto ad abbandonare Topera gia stampata, senza aver avulo agio di raccogliere e di ordinare per essa in una Introduzione quelle indicazioni che gh pare- vano indispensabiH, perch^ i lettori potessero for- marsi un giusto concetto della autenticita del hbra, della sua importanza, e della natura degrinsegna- menti in esso contenuti. Passarono cosi non pochi anni, duranle i quah YOttica di Tolomeo^ sebbene stampata, rimase ine- dita, e lo sarebbe ancora, se Teditore, rompendo il lungo indugio, non si fosse risoluto a pubbhcarla senza altro, rinunciando al pensiero che aveva per varii anni accarezzato di corredarla d una Introdu- zione analitica^ nella quale avrebbe esaminato ac- curatamente tutta la dottrina del hbro. Scelti per6 alcuni fra i numerosi appunti gia preparati per quella Introduzione^ TEditore reputa cosa non inutile, il porh qui per comodo dei lettori, ai quah potranno risparmiar forse qualche fatica e agevolar qualche indagine. Dubitano alcuni che realmente Claudio Tolomeo TAstronomo sia autore del trattato d^Ottica che porta il suo nome. E vero iniatti che lo scrittore dell'^/- magesio avrebbe dovuto parlare della Rifrazione nella sua Grande Opera Astronomica, se la Rifrazione e i suoi effetti suUa posizione apparente degli astri fossero stati noti a lui scrittore delYOlttco; ma, oltre che si puo supporre quesfultimo Hbro posteriore di parecchi anni al primo, potrebbe essere ancora che Tolomeo non avesse parlato della refrazione neir.4/- magesto, per non essere in grado di assegnarne regole abbastanza sicure, come dice nelVOttica. D'altronde nel Capo III del libro F delYAlmagesto Tolomeo scrive : w Nam quod juxta horizontem major « magnitudo stellarum videatur, non distantiae par- « vitas id facit, sed hujusmodi terra obeuntis eva- tt poratio quum inter visum nostrum et stellas « ipsas exhalet, veluti majora in aquis submersa « videntur, et quidem tanto majora, quanto pro- « fundiora*petierint ». II che basterebbe a provare che il Tolomeo delV Almagesto non ignorava certi eflFetti della rifrazione, E forse si potrebbe ancora citare in proposito il Capo VI del libro VIII, dove sembra che veramente Tolomeo alluda allo sposta- mento delle stelle causato dalla rifrazione. Eliodoro di Larissa e Simplicio nominando Tautore deWOttica lo chiamano Tolomeo, senza prenome alcuno, e sembrano voler indicar cosi quello, fra i Tolomei, che gia godeva di una grandissima ripu- tazione, cio^ TAstronomo. Anzi Simplicio lo dice Xlt autore ancora di un libro sugli elementi: a-coiyiiw /3e|3Xew, indicazione che puo convenire soltanto al- rastronomo Tolomeo. E vero che VAlmagesio, come si e delto, non cita VOttlca, ne questa VAlmagesto, ma e vero altresi che quasi mai Tolomeo cita le proprie opere, e appena si conoscono due o tre esempi di siffatte citazioni, in modo che il silenzio serbato dnirAutore deWOttica rispetto a quello del- VAlmagesto non prova nuUa, tanto piu se si riflette che, nella sua Geografia, Tolomeo non nomina punto la sua Grande Composizione Matemattca; ne, a detta del Martin, alcuna delle tre Opere : il Qua- dripartitOy il Planisfero, VAnalemma, contiene ci- tazioni deWAlmagesto, sebbene tutte si aggirino in- torno a cose Astronorniche. 11 Caussin, d'altronde, e piu distesamente il signor Thomas Henri Martin, hanno trattato questo medesimo argomento, e que- sfultimo scrittore conchiude le sue indagini dicendo che: w LOptique de Ptolemee, dont nous avons « une traduction latine incomplete, faite sur deux « manuscrits incompl^ts d'une traduction Arabe, « est bien celle d.e Castronome Grec. Ajoutons (sog- « giunge ancora il Martin) que, malgre les fautes, « qu on y remarque, elle n'est pas une de ses « oBuvres les moins estimables ». JieWOttica di Tolomeo pero si perdettero presto , si corruppero i Codici greci, poiche gli Arabi che voUero tradurli li rinvennero mutiU di un libro intero, e di buona parte di un altro. La traduzione Araba si fa risalire dal Caussin al regno di Alma- XIII moun (813-833), cioe a quasi sette secoli dopo Tolo- meo; quella fatta in lingua latina da Eugenio Am- miraglio di Sicilia su due codici Arabi, sarebbe del secolo XII (rAmari crede che rAmmiraglio Euge- nio sia stato contemporaneo di re Ruggiero, morto nel 1154) e il manoscritto riprodotto fedelmente in questa edizione sembra rimontare al secolo xiv. Della traduzione deWOttica di Tolomeo fatta dal- TAmmiraglio Eugenio si conoscono attualmente quattordici Codici che si possono cosi disporre se- condo Tordine probabile della loro data: 1** Secolo XIV. Codice della Biblioteca Ambrosiaiia di Mi- lano, segnato: T. 100. Parte superiore. 2° forse del princ.** del XV. Codice della Biblioteca pubblica della TJniyersitA di Basilea, segnato: F. II. 33. 3" Secolo XV. Coclice della Biblioteca Eeale di Berlino, segnato: Manuscripta Jatina^ Fol. 283. 4" . » XVI. Codice della Biblioteca Bodleiana d'Oxford, segnato: Savile 24. 5° » XVI. Codice Vaticano, n'' 2975. 6'' » XVI. Codice posseduto dal Principe Don Bal- dassarre Boncompagni, segnato n" 3 14. r fine del XVI, o principio del XVII. Codice della Bi- blioteca del CoUegio Eomano, segnato: H. C. 93. 8" Secolo XVI, XVII. Codice della Biblioteca Ambro- siana di Milano, segnato: D. 451, Parte inferiore. 9° Secolo XVII. Codice della Nazionale di Firenze, segnato: II, III, 35. 10® » » Codice della Nazionale di Firenze, segnato: Classe XI, n** 64 e 65. XIV 11* Secolo XVII. Codice della Nazionale di Parigi, segnato: Fonds Latin, n 10260. 12® » » Codice della Nazionale di Parigi, segnato: Fonds Latin, n® 7310 (proveniente a quanto pare dalla Biblioteca del Boulliau). 1 3** fine del XVIII. Codice che apparteneva al celebre Geo- metra Michele Chasles, Membro del- ristituto (e copia del ms. 7310 della Biblioteca Nazionale fatta fare dal Caussin o dal Delambre alla fine del secolo scorso). La filigi^ana della carta porta: H. PETiT 1782. 14" Secolo XIX (del 1820). Codice della Biblioteca Eeale di Berlino, segnato: Mss. lat. fol. 202 (copia del mss. Parigino Fonds Latin^ n" 7310). Tutti qnesti codici (1) sono posteriori di molto al tempo nel quale (secondo ogni probabilita) venne fatta la traduzione del libro di Tolomeo dairAm- miraglio Eugenio (1150?) e pero nessuno di essi puo considerarsi come originale. Fra i piu antichi pero e i piu recenti corre una diflPerenza notevole rispetto alla correzione del testo e alla sua integrita. (1) Chi volesse saperne di piu intorno ai diversi Codici deirO^^ca di Tolomeo vegga un eruditissimo lavoro pubblicato dal Principe Bon- compagni nel T. IV (1871) del suo Bullettino di Bibliografia e di Storia deUe Scienze Mdtematiche e Fisiche (pag. 470-492) e le giunte a questo Rcritto {Bvdlet. ecc. T. VI. (1873) pag. 159-170). Manca solo in quella minuta rassegna il Godice 7o, quello cioe che apparteneva alla Biblio- teca del Collegio Komano, e che ora trovasi nella Biblioteca Nazionale V. E. di Roma. Di codesto Codice Cartaceo, scritto verso la fine del secolo XVI al principio del XVII, e che rassoraiglia ai nove codici piu scorretti e meno interi dell'opera, non occorre una piu minuta descrizioae, XV I piu vecchi fra i 14 codici, sono anche i meno mutih e i meno alterati. Gh altri sembrano provenir da qualcuno di quei primi, e presentano quasi tutti le medesime alterazioni. Bastera un esempio per classificare i diversi manoscritti e per mostrare come airinfuori del- rAmbrosiano T. 100 Parie superiore (che e stato riprodotto in questa edizione) , di quello di BerHno (Mss. Lat. fol. 283), di quello di Basilea (F. II. 33), di quello di Oxford (Savile 24), e delFaltro Am- brosiano (D. 451 P. I) (il quale forse e una copia antica del primo) , non vi h alcuno degli altri nove codici, che possa venir consultato utilmente per rischiarare qualche passo oscuro del testo. La Prefazione messa dair Ammiraglio Eugenio davanti alla sua traduzione comincia cosi nel codice Ambrosiano T. 100 P. S. « Cum considerarem Optica Tholomaei neces- saria utique fore scientiam diligentibu^ et rerum perscrutantihus naturas, laboHs honus subire et illa in praesenti libro latine interpraetari non recusavi ». Ora in codesto passo, naturas^ laboris honus subire, che si legge tal quale anche nel codice Ber- linese (mss. Lat. fol. 283), h scritto naturas, laboris onus subire nei Codici di Basilea, di Oxford e nel- TAmbrosiano meno antico, ma in sette altri Mano- scritti diviene naturas humanas subire e in due naturas humanorum^ o humanarum subire; cio che farebbe credere che da una prima copia mal XVI fatta del secolo xvi, siano poi state tratte tutte le altre, riproducendone come questo, cosi tutti gli altri errori e le oraissioni frequentissime. II Codice n** 1 presenta indicazione di lacune in quattro luoghi soltanto (pag. i4, lin. 32; pag. 15, lin. 1; pag. 50, lin. i4; e pag. 77, lin. 25, 26 della presente edizione). Manca, e vero, in esso il V ser- mone, ma ne mancano tutti gli altri Codici (primus lamen sermo non est inventits) (1), perch^ il tra- duttore non lo trovd nei due esemplari della versione Araba sui quali egli condusse la sua, cio che fa supporre il testo Greco gia mutilo, quando si penso di tradurlo in Arabo. Nel sermo secundiis appari- scono tre sole mancanze ; il sermo tertius presenta una lacuna; nel sermo quartus sembra non manchi nuUa, solo il quintus finisce in tronco (pagina 168 di questa edizione), e il traduttore soggiunge: Re- liqua hujus sermoms non sunt inventa^ come vien detto, con qualche variante di forma, in tutti gli altri Codici interi di quest^opera. Potrebbe darsi pero, che piii numerose fossero le lacune del testo, quantunque il traduttore o Tamanuense non le ab- biano notate, e forse la oscurita di certi passi ne darebbe indizio. La hngua nella quale e scritta la traduzione del- rAmmiraglio Eugenio 6 barbara tanto, che egli (1) Ruggero Baconb nel suo Opus Majus ( Ed. Londini , 1733, pag. 260) cita il primo libro di Tolomeo: De Opticis ^ ma potrebbe essere codesto uno sbaglio di citazione, come avvert! il Caussin, o un errore dei trascriitori. XVII medesimo stimo necessario di scusarsene nella pre- fazione. Gia il Caussin ha dimostrato come spesso la frase latina riesca bizzarramente oscura perch^ letteralmente tradotta dalPArabo, ma e assai pro- babile che gli amanuensi abbiano aggravato por ignoranza la oscurita del testo ricopiandolo scor- rettamente. Nondimeno certe improprieta e certi errori, specialmente Geometrici, sono proprio da attribuirsi al traduttore, il quale probabilmente igno- rava ii Unguaggio matematico. Lo vediam quindi scriver sempre Circumferentia invece di Arcusy anche quando si tratta di archi piccohssimi, /?e- frcbcius e Refractio per RefLexus e ReflecciOy Caput per extremitas o vertex^ curvus, per convexus come opposto a concavus, ecc, cosicchfe VintelHgenza delle dimostrazioni divien talvolta difiEcihssima, e non di rado impossibile. Rispettando pero la lingua usata dairAmmiraglio Eugenio, TEditore, nella ri- produzione del Codice Ambrosiano, si e permesso di correggervi soltanto cio che non poteva in alcun modo alterare il senso del testo. Cosi per esempio egli ha sostituito gli ae e gli oe nei luoghi, dove Tamanuense aveva messo soltanto una e; ha posto Vy invece deir^ in certe parole che lo richiedevano, ha punteggiato alla meglio le frasi e interrotto, col- Tandar a capo, la monotonia della continuita usata nel Codice Ambrosiano, la quale avrebbe anche reso assai piii difficih le ricerche, o le citazioni. U resto si lascia alla cura degh studiosi che vorranno leg- gere VOttica di Tolomeo, e pei quali sarebbero state XTni afFatto inutili quelle correzioni, o quei mutamenti; onde si sarebbe forse alterato arbitrariamente il concetto deirAutore. Tolomeo (se il libro e veramente suo) non brilla troppo in qnesVOltica per la dottrina geometrica, e non 6 raro rincontrarvi errori , che non si saprebbe come ascrivere a colpa dei traduttori, o degli ama- nuensi. La ricerca dei fdchi e del luogo e della forma delle imagini negli specchi convessi (ciirvi) e concavi (concavi) vi 6 fatta molto confusamente e per casi particolari, anzich^, in modo generale. Essa 6 poi sempre viziata dalPesservi posto come prineipiov che Fimagine di un punto debba trovarsi neirincontro delle due linee che vanno, Tuna dal punto iuminoso dato al centro di curvatura dello specchio, Taltra dalKocchio al punto della superficie riflettente, dove si fa la riflessione secondo la legge, nota agli antichi, della perfetta eguaglianza degh angoli d'incidenza e di riflessione. Codesto principio che trovasi pure nel libro degli Specchi d'Euclide, e che gli ottici d allbra riguardavano siccome evi- dente^ conduce a conseguenze fiilsissime quando lo si applichi in modo generale alla ricerca del luogo delle imagini. Per esso infatti i'imagine di un punto situato davanti a uno specchio convesso o concavo deve trovarsi; sempre sulla retta che congiunge il punto luminoso col centro dello specchio, qualunque sia il hiogo nel quale si dirigano i raggi provenienti da essa imagine, o (come dicevano gli aotichi) qua- lunque sia il luogo deirocchio. Ora si sa invece che XIX rimagine d'un punto costituisce una superficie curva di forma variabile chiamata dai Geometri la Caiistica di quel tale specchio rispetto al punto dato, e pero la soUizione generale del problema ideata dagH an- tichi e accolta da Tolomeo riesce falsa, ne si verifica prossimamente, se non nel caso in cui si tratti di raggi riflessi, i quali facciano un angolo piccolissimo colla retta che congiunge il punto raggiante col centro dello specchio. Nel voler appHcare il principio esposto, Tautore si affatica in piu luoghi a risolvere diversi casi particolari di un problema, che, risoluto poi in modo generale neirOpera deirArabo Alhazen, con- serva oggi ancora il nome di questo Geometra. II problema e il seguente: Essendo dati una super- ficie riflettente sfericOy il luogo dun punto lumi- noso e quello pel quale deve jmssare un raggio riflesso, determinare il punto dello specchio in cui dovra farsi la rifiessione. L'equazione dalla quale dipende la risoluzione generale di codesto problema essendo di 4° grado, era impossibile che Tolomeo la risolvesse colla riga e col compasso come egU andava tentando. Alhazen vi adopro una iperbola e riusci neirintento, sebbene la sua di- mostrazione sia d'una oscurita e d'una prolissila, che il maestro liel Newton, il Barrow, chiamo or- ribili^ e che sono tali veramente da scoraggire i piu volonterosi. 11 Barrow, rHuygens, lo Sluse, il de THopital, il Kaestner, il Pessuti e molti altri diedero sohizioni piu o meno eleganti di qucsto L'Ouica di Tolomeo. 2 XX problema, il quale ha molto maggiore importanza pel Geometra che non ne abbia per rOttico. Tolomeo come Empedocle, comc Platone, come Euclide, ritiene la vista farsi per raggi che escono dairocchio e vanno a toccare i punti delle cose, stabilendo cosi fra il cervello e gh oggetti toccati dai raggi della virtu visiva una relazione che po- trebbe quasi dirsi tattile, se codesti tentacoli visuali non tenessero piu dello spirituale che del corporeo. Da siffatta ipotesi deriva la forma, nn po' strana per noi, delle dimostrazioni impiegate da Tolomeo, e sulle quali si trova rovesciato Tandamento dei raggi per rispetto a quello che si suol seguire dai moderni. Vitellone e Giovanni Pecham abbandonarono la ipotesi della emissione oculare, e considerarono la luce come una virtu, o una efficacia dei corpi lumi- nosi che penetrando nell'occhio puo destarvi la sen- sazione visiva, ne «nltri dopo di loro tento mai piil di rinnovare sul serio la singolare ipotesi degli antichi. Non bisogna credere pero che Euclide, Tolomeo e gli altri seguaci della stessa dottrina escludessero Temanazione della luce da certi corpi, come per esempio dal sole, anzi Eliodoro Larisseo dice essere somigliante la vista (vale a dire i raggi oculari) al sole, riflettendosi e rifrangendosi i raggi delluna, come si riflettono e si rifrangono i raggi deiraltro. Per essi quindi i raggi partiti dal corpo lumi- noso potevano incontrarsi con quelli delVocchio e associarsi con essi, dal che nasceva poi, se non tutta la visione, almeno una piu forte impressione di XXI luce sul riguardante. Cosi puo intendersi ci6 che Tolomeo dice, parlando del primo Sermone o Libro della sua Ottica, quando scrive che esso conteneva : Omnia quibits aliquis possit coaptare ea quae sunt de visu et lumine, ut sibi communicent, et quo ad invicem assimilantur, et quo differunt in vir- tutibits et motibus eorum, et qttid continet unum- quodqiie utrorum de specie differentiae. Tolomeo fu uno dei primi, fra gli Scienziati antichi, a praticare la vera filosofia sperimentale, come appa- risce da questo suo trattato d^Ottica, nel quale piglia i risultati della esperienza come base delle deduzioni geometriche. Probabilmente gh aveva suggerito sif- fatto metodo lo studio deirastronomia, nel quale la semphce speculazione filosofica, disgiunta dalla os- servazione e daha misura degh angoli e dei tempi, non avrebbe potuto mai condurre gh uomini ad altro fuorche ad una cosmografia fantastica e alle vanita deU'astrologia giudiciaria. Se Talete e Pitagora ave- vano lentato la stessa via , i loro tentativi erano rimasti infecondi, o se ne era perduta la memoria. Euchde aveva trattato deU'Ottica , ma da geometra soltanto. Da Archimede, coUa determinazione deUe densita, si era dato, senza dubbio, il primo impulso aUa vera filosofia deUa esperienza; Herone cogVinge- gnosi suoi automati, Vitruvio,Cleomede, Seneca (forse) avevano battuto la medesima via, ma di nessuno ri- mane cosi chiara testimonianza, come di Tolomeo, i! quale misurando gh angoh di riflessione e queUi di rifrazione deUa luce per diverse incidenze e per varii XXII corpi, confermo pienamente la legge della riflessione ammessa dai pin antichi Geometri, e tento di scoprire quella che seguono i raggi allorche si rifrangono. Sarebbe stato assai difficile Timaginare a quei tempi stromento piii semphce e piu adatto di quello onde si vale Tolomeo (pag. 62, linea 32 e seg.) per cercar la legge della riflessione ; e la rifrazione studiata con un congegno analogo (pag. 144, linea 19 e seg.), nel passar che fa la luce daHaria nelFacqua, poi dairaria nel vetro e finalmente dalVacqua nel vetro, avrebbe potuto rivelare a Tolomeo la legge dello Snell, o del Descartes, se egli avesse ripetuto un maggior numero di volte e con circoli esatta- mente divisi le misure degli angoli, che, assai pro- babilmente, si contento di misurare solo una o due volte e non sempre coUa medesima precisione. K curioso il passo del libro III (pag. 77, linea 29 e seguenti, e png. 78) nel quale Tolomeo tenta di spiegare la maggiore grandezza apparente degli astri airorizzonte in questo modo : « Generalmente, il raggio visivo quando arriva « sulle cose da vedersi in modo diverso da quello « che gli h naturale e solito sente meno ie dif- « ferenze che sono in esse, e giudica meno retta- « mente delle loro distanze. Da cio si vede perche « di quelle cose che sono nel cielo e sottendono (c angoli eguali fra i raggi visivi, quelie che sono « piu vicine allo zenit appariscano minori, quelle « invece che sono presso airorizzonte si veggano « altrimenti e sccondo abitudine. Le cose poste nel- .1 ralto appariscono piccole perch6 vedute in modo it diverso dal consneto e con azione faticosa ». Concernono forse, sebbene meno direttamente, lo stesso fenonieno quei passi del II libro (pag. 51, linea 26 e linea 31 ; pag. 52, linea 15; pag. 58, linea 18), che trattano delFapparire le cose piu o meno vicine secondoch^ sono piu o meno splen- denti. NeWAlmagesto (lib. I, Cap.III) Tolomeo attribuisce invece la maggior grandezza apparente degli astri presso Torizzonte alle evaporazioni terrestri che si interpongono fra Tocchio e gli astri e che ce li fanno apparire piu grandi, come Tacqua ne mostra mag- giori le cose in essa immerse. E nel V libro (pag. 142) che Tolomeo prin- cipia a discorrere della rifrazione {fractio, fiexio) che ha luogo nel passaggio dei raggi visuali {radii visibileSy qid procechmt a visu) da un mezzo in un altro, il quale si lascia penetrare dalla vista {quocl peyietrat visus), e avverte come la rifrazione non ha luogo se non nel passaggio da un mezzo in un altro e propriamente alla superficie di sepa- razione dei due mezzi. Nota poi come i raggi si rifrangano tanto nel passare dai mezzi piu sottili nei piu densi, quanto neirandar da questi a queUi, non facendosi mai le flessioni per angoli eguali rispetto alle normali; ma secondo certe proporzioni. Passa in seguito a dire come i punti veduti per rifrazione si veggono nel luogo d'incontro del raggio che parte dallocchio e si prolunga nel mezzo rifraa- XXIV gente; e della perpendicolare condotta dal punto os- servato suUa superficie rifrangente, ed aggiunge che il raggio incidente e il raggio rifratlo giaciono in uno stesso piano normale alla superficie rifrangente. II fenomeno deirinnalzamenlo della imagine di una moneta collocata in fondo a un catino prima vuoto, poi pieno d'acqua serve a Tolomeo per mo- strare in che consista il fenomeno della rifrazione. Procedendo quindi alla misura delle rifrazioni incomincia dallo studio della rifrazione nelFacqua, per la quale indica i risultati seguenti; accanto a cui si sono scritte le diflerenze prime e seconde fra gli angoli successivi di rifrazione: Aogoli Angoli Differenze Differeoze di dl lucidenza KifrazioDe prime seconde o o ' o ' t 0. 8. 10 8. 7.30 30 20 15.30 7. 30 30 22 . 30 6 .30 30 40 29. 6. 30 50 35. 5.30 30 60 40.30 5. 30 70 45.30 4.30 30 80 50. XXV Pe\ vetro invece fra gli angoli d'incidenza e di rifrazione egli trova le relazioni seguenti: 1 Angoli di Iccidenza Angoli di Rifrazione Differenze prime Differenze seconde / o ' / 10 7 6.30 -20 13.30 6.00 30 30 19.30 5.30 30 40 25 5.00 30 50 30 4.30 30 1 60 34.30 4.00 30 70 38 . 30 3.30 30 80 42 4 Calcolando findice, deiracqua e del vetro per ciascuno degli angoli dati da Tolomeo, lo si vede crescere dalFangolo minimo d'incidenza fino a quello di 50"*, pel quale acquista un valore massimo ; questo valore decresce poi fino airangolo di 80°, al quale si arrestano le tavole di Tolomeo. La legge che seguono gli angoli di rifrazione dati da Tolomeo mostra come essi non risultino da mi- sure dirette, o per lo meno non ne risultino se non per alcune poche incidenze. E assai probabile che la / XXVI difficolta delle misuie nel caso degli angoli molto piccoli molto grandi , e V impossibilita di spin- gerne la precisione al di la del mezzo grado, ab- biano indotlo Tolomeo a contenlarsi di numeri apprqssimati che gli apparivano legati fra loro dalla costanza delle difFerenze seconde (1). Stando a codesti numeri, la relazione Ira gli angoli d'incidenza i e quelli di rifrazione p puo dunque esprimersi con: pzizai^bi dove per Tacqua « = 0,825 ^> = 0,0025 e pel vetro « = 0,725 ^> = 0,0025 „ 330 . 1 ovvero per 1 acqua ^==400 * "^ 400 1 . 290 . 1 e pel vetro ^^Tfu\ ^ — 400 400 La stessa legge si osserva ancora, secondo i dati di Tolomeo, nelle rifrazioni dal vetro airacqua. La pure sono costanti le differenze seconde degli angoli di rifrazione, quelli d'incidenza variando in pro- gressione aritmetica. Gli angoli d'incidenza i e quelli di rifrazione p possono quindi collegarsi fra loro (1) Keppler riscontrando questa stessa legge nelle Tavole date da ViTBLLONE (che son quelle di Tolomeo con piccolissime variazioni) scrisse [Paralipomena in Vitellionem, Cap. IV-6, Prop. VHI]: « Gertum « igitur est, Vitellionem suis ab experientia captis refractionibus « manum admovisse, ut in ordinem ilias per sccundorum ineremen-* u torum aequalitatem redigeret ». xxvn ariche in questo caso con una relazione della forma gia indicata, purch^ vi si faccia a = 0,975 Z? = 0,0025 ovvero a = 390 400 b = 1 400 Infatti pel passaggio dalPacqua nel vetro Tolomeo da le relazioni seguenti : Angoli di Incidenza Angoli di Rifrazione Differenze Differenze prime seconde o r ' f 10 9 .30 9.00 20 18.30 8.30 30 30 27 8.00 30 40 35 7.30 30 50 42.30 7.00 30 60 49.30 6.30 30 70 56 6.00 30 80 62 Ammettendo la relazione: p = ai — bi*, Tolomeo s'era accostato un po' piil alla vera legge della rifra- zione di quello che se si fosse servito della relazione piii semplice p = ci, adoprata da alcuni ottici po- steriori a lui. X*VI11 Dalla relazione di Tolomeo si dedurrebbe un irulice di rifrazione variabile, e si avrebbe un nias- simo per Tangolo p, quando fosse «=3-7,maun tale massimo non rappresenterebbe nuUa di reale corrispondendo a incidenze impossibili. Per le incidenze di 90** la formola dedotta dalle tavole di Tolomeo darebbe nel passaggio dairaria neiracqua: p^ =54** dairaria nel vetro: p^ =45** dairacqua nel vetro: |0«„=67**30' . Secondo la legge di Snell invece, e prendendo come indice: per iacqua . . . ??^ zr- si ha per angolo limite p^ =48^35'. ?5", 4 pel vetro . . . . n^=- si ha per angolo hmite p^ =41^48'. 37M daUacqua al vetro n^^ = ^ si ha per angolo limite |0«^ = 62^44'. 2". i quali angoli sono tutti inferiori di parecchi gradi a quelli che risulterebbero dalle tavole di Tolomeo. Tolomeo non da alcuna legge pel passaggio della luce dal mezzo piu rifrangente nel meno rifrangente e si accontenta di notare che: « apparisce in tal « caso una grande diversita neirauraento degli an- w goh e nella quantita della flessione » . Se la legge XXTX espressa dalle formole p = ai — bi^ rappresentasse veramente la relazione fra gli angoli d'incidenza e di rifrazione, se ne dedurrebbe: ¥b che pei valori speciali nttribniti da Tolomeo ad a e 6 si riduce a: z = 200Ja:l:^a*-0,0Tp| la quale formula potendo dare degli i superiori a 90** non rappresenta il fenomeno della riflessione totale, e quindi non puo valere nella ricerca delle rifrazioni da un mezzo piti rifrangente in un meno rifrangente. Se si cercano gVindici corrispondenti a ciascuno degli angoli di rifrazione nelFacqua, nel vetro e dairacqua nel vetro dati da Tolomeo si ottengono i valori seguenti: racqua, t?a = 1,24771 pel velro, «^=1,42487 4 ,27983 1,46510 1,30656 1,49787 1,32586 1,52096 1,33864 1,53209 * 1,33348 * 1 ,52898 1,31748 1,50951 1,28558 1.47172 Dairacqua nel veiro. 11«^ = 1,05211 1,07789 1,10134 1,12067 1,13389 * 1,13890 1,13347 1,11536 XXX dei quali valori quelli segnati * e corrispondenti airincidenza di 60", rappresentano quasi esattaraente grindici veri, almeno per Tacqua e pel velro. L^indice dairacqua al vetro dedotto dagrindici di queste due sostanze sarebLe 1,14661 invece di 1,13890 che risulta dalle misure , dai calcoli di Tolomeo. Calcolando cogli indici 71« —• 1,33348, /2^—1,52898, 7ia^= 1,1 3890 le rifrazioni corrispondenti alle inci- denze adoperate da Tolomeo si ottiene: Angoli di ANG( )LI DI RIFR AZIONE - Incideoza nelPacqua »^ = <, 3334799 nel velro n =^, 5289829 dalPacqua nel vetro n =^, 1388987 u ' " ' " ' " 0. 0. 0.0.0 0. 0. 10 7 . 28 . 56 6.31 .16 8. 46. 12 20 14.51 .42 12.55.33 17.28.33 30 22. 1 . 18 19. 0.15 26. 2.29 iO 28 . 49 . 7 24 .51 .36 34.21 .37 50 35 . 3 . 45 30 . 4 . 2 42.16.10 60 40.30. 34.30. 49 . 30 . 70 4i.48.17 37.55.19 55.35.51 80 47.36.21 40. 5.52 59 . 50 . 55 90 48 . 34 . 59 41 .48.37 61 .24.25 i i JCXXI Gli angoli di rifrazione cosi calcolati per Tacqua e pel vetro differiscono da quelli dati da Tolomeo di poco piu di mezzo grado per tutte le incidenze che vanno da 0*" a 70*. Solo per Tincidenza di 80" la differenza raggiunge, o supera due gradi. Ora, se si bada al metodo adoperato da Tolomeo per mi- surare questi angoli, s'intende facilmente come ab- biano potuto sfuggire alFosservatore differenze cosi piccole, tanto piu che nelle misure Tolomeo non tien mai conto di frazioni d'arco minori del mezzo grado. Nel passaggio della hice dalFacqua al vetro, le differenze sono maggiori, ma in questo caso bi- sogna nttribuire le inesattezze alla forma del mezzo cihndro di vetro adoperato da Tolomeo, il quale senza dubbio era di un vetro pieno di ritrosi, di bolle, di parti divorsamente rifrangenti, aveva la faccia piana mal ridotta a vera pianezza, e la parte curva ancora peggio lavorata in forma semicihn- drica. Le differenze riescono anche un po' piu con- siderevoh, se si calcolano gh angoh di rifrazione coH^indice daU'acqua al vetro che risulta dai due adoperati separatamente per Tacqua e pel vetro, anziche coll' indice che si deduce dalla rifrazione indicata da Tolomeo per Tincidenza di 60** nel pas- saggio dairacqiia nel vetro. — In generale, le rifra- zioni di Tolomeo superano le vere, probabilmente per la tendenza inconscia deh^osservatore ad esagerare la grandezza del fenomeno studiato. L'artificio aritmetico adoperato da Tolomeo per calcolare le sue tavole di rifrazione, artificio pel T^XXII quale Vangolo p di rifrazione si esprime in funzione deirangolo / d'incidenza coUa relazione: (a)... pznai — fn^ non poteva condurre a risultamenti esatti, poiche se si cerca di esprimere p in funzione di ?*, par- tendo dalla legge dello Snell o del Descartes, e sviluppando (1) le potenze snccessive del seno del- Tangolo /, in funzione delFarco /, si ottiene: ( 5040 f ^ dove con v si rappresenta la reciproca deirindice 1 di rifrazione, cioe : v= - . n Se, invece di esprimere i e p in parti del raggio, si volessero in gradi e frazioni di grado, allora biso- gnerebbe trasformare la (/;) in: l-g(l-V^) 1 '/ M80j n 1 5040 (l-91v»-h315v*-225v«) n M80 (1) II seno d'ua angolo i in funzione deirarco i essendo espresso da un infinitinomio, per elevarlo alle diverse potenze si pu5 ricorrere al metodo dato da Greoorio Fontana nel 1® articolo delle sue: 22t- cerche sopra diversi punti concernenti l^analisi infinitesimale e le sue applicazioni alla fisica. (Pavja 1793, i vol, in-8o, pa^. 5 e se^f.). XXXIII In qualunque modo, limitandosi ai due primi ter- mini di questa espressione, Tangolo di rifrazione si trova espresso da e perd si vede come non debba accordarsi col valore di p calcolato da Tolomeo nemmeno per angoli infe- riori a 30'', pei quali possono bastare i due primi termini della serie. Dopo d'aver mostralo come proceda la rifrazione neiracqua e nel vetro, Tolomeo (pag. 151) cerca che cosa debba accadere ai raggi luminosi, che dalVetere giungono alFaria e Tattraversano, e ne deduce che gli astri presso Torizzonte debbono sembrare meno lontani dallo zenit che realmenle non siano, cosi che essi appariscano ancora suirorizzonte, quando sono gia tramontati (1). Fa osservar quindi che .la deviazione del raggio visuale dev'essere tanto minore quanto piu Fastro si accosta allo zenit, dove la deviazione si annulla. Segue quindi a dire che, se si conoscesse Taltezza deiratmosfera si potrebbe dare una regola per la quantita delle rifrazioni alle varie altezze degli astri suirorizzonte, ma, ignorandosi codesta altezza, m- possiblle est inde ratiocinationem fteri^ qua di" gnoscatur quantitas anguli, quae fit in declina- tione hujusmodi fractionum. (f ) La rifrazione della luce e i suoi effetti sulla posizione apparente degli astri erano gik noti a Cl6omedef vissuto al principio dell*Era Cristiana (50 deirfira volgareC?)). — Poco dopo ToIomeOj ne parI6 pure Seato Empirico (III Secolo?), XXXIV Tornando poscia alla legge, secondo la quale si rifrangono i raggi dai mezzi piti rari (nieno rifran- genti) nei piii densi (piu rifrangenti) Tolomeo fa notare che se rocchio si collochi nel mezzo piu denso, allora il raggio visivo pigHera neiruscirne quella medesima via che esso avrebbe seguita nel piu rado per arrivare al luogo del piu denso dove attualmente trovasi Tocchio. II che, mutando con- venientemente il linguaggio e attribuendo ai raggi deUa luce quelle direzioni che Tolomeo attribuisce ai raggl della vista^ torna lo stesso che dire, come anche oggi si ammette dagli ottici, che. le due porzioni spezzate d'uno stesso raggio con- servano le medesime direzioni , sia che la luce venga dairuno, sia che essa arrivi dairaltro di dne mezzi contigui. Egh avverte ancora che ad angoli d'incidenza maggiori corrispondono maggiori angoli di rifra- zione, cosi che, se i^>i anche Pi>p e soggiunge • • • che si ha sempre -4>— , ed anche — >- come piire: ^ i p p^ p « « • • -^-r— >^^ — - e * — ^>-. , delle quah relazioni eeh i p p,-p i ^ ^ avra fatto uso probabilmente in quelle parti del V hbro che non pervennero sino a noi. Ma qneste relazioni non sono vere se non quando la hice va da un mezzo meno rifrangente in uno piii rifrangente. Quando invece i raggi passano da un mezzo piu rifrangente in unc meno rifrangente, sebbcne ad i^- mentre invece si ha 4<-, e i p ^ P percio si mutano anche tutte le altre relazioni. Una singolare espressione adoperata da Tolomeo (pag. 136) sembra alludere alla conse^^vazione della forza^ a quel principio che fu detto della minima azione^ poiche, dopo d'aver paragonato la riflessione alla rifrazione, e aver detto che in questa gU angoli d'incidenza e di rifrazione non sono eguali fra loro, corae lo sono quelli d'incidenza e di riflessione, egli soggiunge: Quod necessario oportet sic fieriper ea quae exposuerimus^ ex qiiibus dinoscetur etiam res mirabilior , videlicet et cursus naturae in conservandis actibus virtutis. Quella parte delFOi- tica di Tolomeo , nella quale si sarebbe dovuto trovare la diraostrazione di questo principio, raanca nella traduzione deirammiragho Eugenio. II passo che incomincia alla pag. 156 colle parole: Cum enim distinctio^ e finisce alla pag. 158 con: iam demonstratum est (passo al quale si riferisce la figura 86 (Tab. VIII), che non fu possibile mighorare), sia perche mal tradotto, sia perche mutilato e ras- settato dagh amanuensi, cosi come e, non sembra avere alcun senso. Puo esser pero che, collegandolo con quello che precede e con quello che segue, dopo davere abituato la mente alle stranissime espres- sioni del traduttore, riesca ad altri di indovinarne il significato. Nel cercare il luogo delle imagini vedute per ri- frazione Tolomoo procode come aveva proceduto per UOttica di Tolomeo. 3 XXXVI le imagini riflesse e come sembra procedessero tutti gli ottici antichi, vale a diro che egli conduce dal punto luminoso una normale alla superficie rifran- gente e dice vedersi Timagine di esso punto lumi- noso nel luogo, dove codesta normale incontra il raggio rifratto (che s'intende passi per Tocchio) purche Tincontro abbia luogo su quella parte del raggio che sta davanti airocchio. Se Tincontro awe- nisse dietro Tocchio, questo non vedrebbe rimaginc. Ora siflatta regola e altrettanto inesatta per la rifrazione, quanto per la riflessione. II hiogo della imagine d'un punto luminoso rispetto alFocchio tro- vasi sovra una Canstica , la quale non incontra la normale guidata dal punto himinoso alla superficie rifrangente, se non quando il raggio rifratto faccia un angolo infinitamente piccolo col raggio incidente. II V Hbro di Tolomeo non lo abbiamo intero; esso finisce con una parte della dimostrazione rela- tiva al luogo e alla grandezza delle imagini delle cose vedute attraverso a un mezzo terminato da una superfice cilindrica, quando Tocchio che le osserva si trova in un mezzo piu rifrangente di quello onde e fatto il ciHndro Dopo di che il traduttore sog- giungc: Reliqua hujus Sermonis non sunt inventa. La mutilazione di questo quinto hbro ci toghe, per ora almeno, ogni mezzo di conoscere con certezza se gh Antichi avessero o non avessero i vetri lenticolari, non bastando a provare che h avessero quello che Tolomeo vi dice dei mezzi terminati da una super- ficie piana o da una superficie cihndrica. Che anzi XXXVII il non parlarvisi di vasi sferici , ne di porzioni di sfera potrebbe quasi assicurarne del contrario. La supposta lente indicata da qualche scrittore come trovata a Ercolano, o a Pompei e serbata nel Museo di Portici (ora in quello di Napoli) non 6, ne puo es- sere mai stata una lente. E un pezzo di vetro irre- golarmente piano-convesso contorto, boUoso, tale insomma che, anche supponendolo primitivamente piu regolare, e non logorato dal tempo, non avrebbe mai potuto dare imagini utiU degli oggetti veduti attraverso ad esso. Studiando piu minutamente le dottrine ottiche di Tolomeo non riuscira difficile il poter mostrare quanto egli attingesse da suoi predecessori Aristotile, Euclide, Herone, Gleomede, Seneca, ecc, e quanto abbiano attinto da lui EHodoro, Alkindi, Alhazen, Ruggero Bacone, Witelo, Giovanni Peckham,Teodoro di Sassonia, il Maurolico, il Porta, ecc. ecc. Forse, come avverti il Venturi, il primo Hbro di Tolomeo potra ricostituirsi coiropera de Aspectibm di Alkindi (secolo ix), con qualche altra compilazione araba; e Ruggero Bacone, Alhazen o Witelo potranno dar modo d'intendere alcuni passi oscuri del testo di Tolomeo, e di rassettarne le parti mutilate. Abih Grecisti e valenti cultori della Hngua araba potranno continuare e perfezionare il saggio del Caussin, e cosi megho interpretare il senso di alcune espressioni adoperate dairAmmiragHo Eugenio, che mal ridotte dal Greco in Arabo e peggio forse d'A- rabo in Latino, sembrano inintelHgibiH ; ma qua- lunque studio si ponga a correggere, a compire, XXXVIU a spiegare rOpera di Tolomeo, non se ne trarra mai la prova, tanto vagheggiata da taluni, che la Scienza della Natura presso gh Antichi eguagliasse, se pur non passava, qnella dei Moderni. II Tolomeo ihWOttica (sia o non sia tuttuno coirAstronomo) fu senza dnbbio uomo di molta dottrina pe' suoi tempi, ma lo sue scoperte e i suoi studt si limitarono allo prime nozioni o piu ovvie dei fenomeni hiniinosi, (> neppurqueste ebbe sempre chiare ed esatte. Nulladimeno se egh non pud venir coUocato, come Ottico, al disopra del Keplero, dello Snell, del Descartes, deirHuygens, del Newton, del- TYoung, del Fresnel occ. , ecc, pur come Geometra si lascio addietro notevolmente altri antichi, e la Storia della Fl/osofia Naturale deve citarlo con ri- conoscenza accanto a Talete, a Pitagora, ad Archita, ad Aristotile, ad Euclide, ad Archimede, ad Herone, a Ctesibio, a Gleomede, a Seneca, a Plinio, e a pochi altri, i quali dischiusero la via alla Scienza moderna, insegnando alPuomo come i fatti del mondo este- riore non debban cercarH nel mondo interno della mente, ma soltanto nelle cose, nei loro moti e nelle loro relazioni, quando pure queste, alla prima, pos- sano parere contrarie al concetto che egli se ne era formato meditando- G. Govi. XXXIX N T E Pag, III, lin, 10 : Ecco i titoli , tradotti in latino , di varie opere attribuite a Glaudio Tolomeo di Pelusio, e stampate in greco, in latino, o tradotte in altre lingue : I. Magnae Constructionis, Libri XIII (h V Almagesto), II. De hypothesibus planetarum liber. III. De Analemmate. IV. Planisphaerium ad Syrum. V. De apparentiis et significationibus inerrantium. VI. Quadripartitum, Libri IV ; de apotelesmatibus et ju- diciis astrorum. VII. Fructus librorum suorum , sive Centum dicta , aut Centiloquium. VIII. Geographiae, Libri VII. IX. Elementorum Harmonicorum, Libri III. X. Eecensio Chronologica Eegum, sive Canon Eegnorum. XI. De judicandi facultate et animi principatu. XII. Liber Ptolomei de speculis, qui dividitur in duos libros. (Btampato nelPopera Sphera j cum com- mentis — Venetiis — 1518, in-folio). Eima/ngono inediti, o si credono perduti gli scritti seguenti : I. Optica. n. De dimensionibus, liber singularis. III. Mechanicorum, Libri III. IV. Periegesis. V. Periplus. VI. Tcepl ^OTcffiv pupX£a)v. VII. Sxotxe^. VIII. Oicofl^aecov, Libri II. XL Veimero attribuiti pure a Tolomeo : Libri III Magioi. Liber de Annulis^ et libri Astrologici ad Aristonem. Pag, UI, lin. 17. — Damiani Philosophi^ Heliodori Larissaei de Opticis, libri II. Nunc primum editi, et animadversio- nibus illustrati ab Erasmo Bartholino Casp. Filio. — Pa- risiis^ ex officina Gramosiana^ M. DG. LYII. Cum privilegio Regis Christianissimi. — 1 vol. in-4^. Al Capo III {pag. 5) delV Otiic& d'Eliodoro «i legge: di Unde manifestura est, visibilia objecta h. nobis videri dc emissione lucis : quod et euidentius patebit , vbi simili- « tudinem visus nostri cum Sole proposuerimus. Dico au- di tem, id quod h. nobis emittitur, quodque visum solemus . A queste parole il Bartolino aggiunge (pag. 103) un lungo commento , nel quale fra altre cose cita la prefa' zione dello stesso Tolomeo al suo I libro De Speculis, dove dice: . Pag. IV, lin. 1. — Simplicii Philosophi acutissimi commentaria in quatuor libros de Coolo Aristotelis, Guillermo Morbeto interprete. Quae omnia cum fidelissimis Godicibus Graecis recens collata fuere. — Venetiis, 1540, apud Hieronymum Scotum. 1 vol. in-fol. Fol. 8, col. 1, lin. 20-25. « Sciendum o: autem quod Ptholomaeus in libro de Elementis, et in . Anche Gio. Federico Weidler nella sua Historia astbo- N0MiAE,«cc., Wittembergael741, in-4", alla paginaSlO-Slly Gio. Alfonso Fabricio nella Bibliotheca latina mediae AETATis, Patavii 1754, in-4", Tomo lY, pag, 128-124, e Gustavo Filippo Negflein di Norimberga in nna Disfter-' taziane intitolata: Primaria quaedam documenta de ori- GiNE Typographiae, evc. ecc,, stampata ad Altorfnel 1740^ e nella quale riproduce in fac-simile la prima edizione delVlniex operum del Begiomontano (ristampato nel 1514, e citato po&anzi)^ haivno fatto conoscere il progetto che questo dottissimo e lahoriosissimo Astronomo areva conce' pito di pubblicare la Perspectiva Ptolemaei. Pag, IV, lin. 12. — Opticae Thesaurus. Alhazeni Arabis libri septem, nunc primum editi. Eiusdem liber de Crepu- sculis et nubium ascensionibus. Item Vitellonis Thuringo- poloni libri X. Omnes instaurati, figuris illustrati et auoti, adiectis etiam in Aihazenum commentarijs, a Federioo Eisnero. Basileae mdlxxii in-fol**. Nella Prefazione ad Alha- zeno alla carta segnata a 2 verso, lin. 14-16 ... € Eu- clideum hic vel Ptolemaicum nihil fere est » ; e neUa Pre- fazione a Vitellone, a carte *d, recto, Un. 4-5, Alhazeni, Euclidis, Ptolemaei axiomata, hypotheses , theoremata omnia coUegit :». Pag. IV, lin. 14. — M^moire sur l*Optique de Ptol]£m]£e, et sur le projet de faire imprimer cet ouvrage d'apr^B les deux manuscrits qui existent k la Biblioth^que du Boi — par M. Caussin — (dans les M^moires de Tlnstitut Boyal de France, Acad^mie des inscriptions et belles lettres. T. VI — Paris 1822, pag. 1-48). Veggasi in questa Me- moria aUa pag. 5, lin. 9 e seg. Pag. IV, lin, 20. — Optica Ambrosii Bhodii, Eembergensis, Fhilosophiae ac Medicinae doctoris, et Mathematum Pro- XLIIl fessoris in Academia Leucorea. Cui additas est tractatus de Orepusculis. — Witebergae 1611, in-8**. Veggdsi alla carta non numerata 15 verso, e 16 recto. Pag. IV, lin. 27, 28. — Johannis Alberti Fabricii, Theol. D. et Prof. Publ. Hamburg. Bibliotheca graeca, sive no- titia scriptorum veterum graecorum quorumcumque mo- numenta integra, aut fragmenta edita extant tum plero- rumque e Mss. ac deperditis ab auctore tertium recognita et plurimis locis aucta. Editio quarta, variorum curis e- mendatior atque auctior, curante Gottlieb Christophoro Harles cons. aul. et P. P. 0. in univers. litter. Erlang. Accedunt B. I. A. Fabricii et Cbristoph. Augusti Heu- manni supplementa inedita. Hamburgi 1790-1809, 12 vo- lumi in-4®. ib. Vol. V, pag. 270. Cap. XVI. De Claudio Ptolemaeo. In questo Oapitolo fra le opera deperdita si nota (pag. 295) 'OrcxtxJ) TCpayiJtaTefa. Pag. IV, lin. 80. — Lalande (J6r6me le Fran^ais) Astronomje. III 6dit. T. II. Paris 1792, pag. 512, § 2168. Pag. V, lin. 1. — The History and present state op di- SCOVERIES RELATING TO VlSION, LlGHT AND COLOURS, bj Joseph Priestley L. L. D. F. E. S. London 1772, mA% pag. 16. ib. lin. 2. — Histoirb de l^Astronomie moderne, depuis la fondation de TEcole d'Alexandrie jusqu'k Tepoque de M.D.cc.xxx — par M. Bailly — Nouvelle 6dition. T. I'^. Paris 1785, in-4^, pag. 200 et Eclaircissements, pag. 560. ib. lin. 8. — Histoire des Math^matiques, dans laquelle on rend compte de leur progr^s depuis leur origine jusqu*li nos jours; ecc. ecc. par M. Montucla, deFAcad^mie Boyale des Sciences et Belles-Lettres de Prusse. Paris 1758, 2 vol. in-4®. — Veggasi nel T. 1 a pag. 808. Pag. V, lin, 4. — Orioine des d^icouvertes ATTRiBuiiES Aux MODERNES, ctc... par M. Dutens, de la Soci6te Boyale XLIV de Londres, et de rAoad^mie des Inscriptions et Belles- Lettres de Paris. Seconde 6dition. Paris 1776, 2 voL in-8. Veggasi nel Vol. 11 alla pag. 188. Pag. V, lin. 26. — Histoire des Mathi^matiques, par J. F. Montucla, ecc. Nouvelle ^dition. Paris. An. VII. T. I®% pag. 814, lin. 14 e seg. Pag. YI, lin. 4. — Commentabi sopba la storia e le teoris dell^Ottica, del Gavaliere Giambattista Yenturi Beggiana, membro del Gesareo Eegio Istituto di Scienze eoc. della Societli Italiana di Yerona, e di piii altre Accademie. Tomo primo (unico). — Bologna 1814, 1 vol. in-4**. Veggasi {'articolo terzo alla pa^. 31. Questo lavoro presentato nel gennaio del iSii ^ venne inserito dapprima nelle : Memorie deir Istituto Nazionale Italiano. Tomo I, Parte 2* — Bologna 1818, pag. 166- 229, col titolo di Considbrazioni sopra varie parti del- l'ottica presso gli antichi. Pag. YI, lin. 15. — De Lalande: Bibliographie astbono- MiQDB, avec rhistoire de rastronomie depuis 1781 jusqu'^ 1802. Paris. An. XI, 1808, in-4^ Histoire, pag. 812: (1799). — Le G.^" Caussin trouva k la Biblioth^que Nationale un manuscrit de rOptique de Ptolem^e, que Ton croyait perdue: c'est une traduction latine d'apr^s TArabe. II se propose de faire connaitre ce pr^cieux manuscrit. Nous y avons vu avec plaisir que Ptol6m^6 connaissait d^jlt la r^fraction astronomique, et que TArabe Alhazen Tavait prise dans Ptol6m6e. Pag. YI, lin. 21. — Exposition du SYSTi:ME du monde, par P. S. Laplace, membre de Tlnstitut National de France, et du Bureau des Longitudes. Seconde ^dition, revue et augment^e par TAuteur. Paris 1799, in-4°. Veggasi a pag. 808. XLV Pcbg, VI, Mn. 25. — Voyage de Humboldt et Bonpland. Quatrieme partie. Astronomie, l"*^ Vol. Eecueil cfobserva- tious astronomiques , d'op^ations trigonometriques , etc. Paris 1810, in-fol^. Introduction, par Humboldt, pag. Ixvij- Ixx. Ib. lin, 29. — Commentarj sopra la storia e la teoria dell'ottica, ecc. del Cav. G. B. Venturi ecc. Articolo III, yag, 31-62, e dalla pag. 225, alla 242. Pag. VII, lin. 9. — Connaissance des temps, ou des mouvements c^lestes, k Tusage des astronomes et des navigateurs, pour Tan 1816, publi^e par le Bureau des Longitudes. Paris 1818, in-8®. In questo volume dalla pagina 239, alla 256 trovasi lo scritto del Delambre intitolato : De l'Optiqub DE PtOL^M^E, COMPARl^E JL CELLE QUI PORTE LE NOM d'EuCLIDE; ET k CELLES d'AlHAZEN ET DE VlTBLLON. Lo 8te880 lavoro, con qualcUe variazione, si trova pure riprodotto nella: Histoire de l'astronomib ancienne, par M. Delambre, Tome II, Paris 1817, in-4®, dalla pa- gina 411 alla 481. ib. lin. 23. M^moires de Tlnstitut Boyal de France, Acad6mie des Inscriptions et Belles-Lettres. T. VI. Paris 1822, pag. 1- 39 e Note pag. 40-48. Pag. Vni, lin. 6. — Comptes Rendus hebdomadaires des Seances de TAcad^mie des Sciences. T. LXXI, N.** 14 (3 octobre 1870) pag. 465-468. ib. lin. 11. — Sulla opportunitk di pubblicare una traduzione inedita deirOttica di Tolomeo, osservazioni di -G. Govi — lette alVAccademia delle Scienze morali di Torino il 28 aprile 1871 — inserite negli Atti della E. Accademia delle Scienze di Torino, T. VI, pag. 401-406. Pag. XI, lin. 1. — Ptol^m^e, auteur de l'Optiqub tra- DUITE EN LATIN PAR AmMIRATUS EuGENIUS SiCULUS SUR UNE TRADUCTION ARABE INCOMPL^TE, EST-IL LE Ml^ME QUB Olaude Ptol^m^b, autbur db l'Almagb8te? par Th, Henri Martin (nel Ballettino di Bibliografia e di Storia delle Soienze matematiche e fisiche pabblicato da B. Bon- compagni. T. IV (novembre 1871) pag. 466-469). Pag. XIII, lin. 8. — Storia dei Musdlmani di Bicilia, scritta da Michele Amari, volume terzo. Parte seconda. Firenze 1872, pag. 657-660. Pag. XV, lin. 15. — L'Editore si h preso una sola libertk, quella cio^ di separare dal testo, e di stampare in carat- tere corsivo Tintroduzione preposta alFopera del Traduttore Siciliano, intitolandola : Amirati Edgenii Sicdli in Pto- LEMAEi Opticam Praefatio, il quale titolo non si ri- scontra nei manoscritti del libro. Pa^. XVII, lin. 2. — Veggasi nella Prefazione alla pag. 8: « Verumtamen quia universa linguarum genera proprium € habent idioma, et alterius in alterum translatio, fideli cc maxime interpreti, non est facilis, et praesertim arabicam c in graecam aut latinam transferre volenti, tanto diffi- (£ cilius est, quanto maior diversitas inter illas, tam in cc verbis et nominibus, quam in litterali compositione re- c peritur ; unde quia in hoc opere quaedam forte non ma- c nifeste apparent, dignum duxi intentionem auctoris , ab c arabico libro evidentius intellectam, breviter exponere^ c ut lectoribus via levior efficiatur }>. Pag. XVni, lin, 20. — La Prospettiva di Euclide, nella quale si tratta di quelle cose, che per raggi diritti si veggono : et di quelle, che con raggi reflessi nelli specchi appariscono. Tradotta dal E. P. M. Egnatio Danti cosmografo del Seren. Gxan Duca di Toscana... ecc. ecc... In Fiorenza MDLxxiii, in-4*^. Vedi alla pagina 96: Theorema decimosettimo : Negli specchi rotondi qual si voglia cosa visibile si vede nella linea retta, che dalla cosa visibile va al centro dello spec- chio; come a/nche il Theorema decimottavo, che conceme gli specchi concavi. XLVII Veggasi in proposito di questo principio degli antichi guanto ne scrive il Duval-le-Boy nelle note al: Trait6 d'Optique par M. Smith^ Professeur d'astronomie et de philosophie exp^rimentale h, Cambridje (sic), traduit de Tanglais et consid^rablement augmente — a Brest 1767, in-4^ — pag. 118-126. Note 211-242. Sipud consultare ancora a tale riguardo una Memoria di Gotthelf Abraham Kaestner nei: Novi Commentarii Sooie- tatis Regiae Gottingensis, T. VII, anno 1777, pag. 96-123, intitolata : « De obiecti, in specuio sphaerico visi, magni- tudine apparente d. Pag. XIX, lin, 18. — Molti Matematici si 8&no occupati del Problema di Alhazen e fra gli altri: Barrow (Isaaco), Lectiones XVIII, Cantabrigiae in scHOLis PUBLicis HABiTAE, iu quibus opticoTum phaeno- mencon genuinae rationes investigantur, ac exponuntur. Londini 1669, in-4^ Lect. IX, pag. 63-68. Huygens (Christian) et Sluse (Fran^ois Rene) - Excer- pta ex epistolis nonnullis, ultro citroque ab illustrissimiB viris, Slusio et Hugenio, ad Editorem scriptis, de famige- rato Alhazeni problemate circa punctum reflexionis in spe- culis cavis et convexis nslle : Philosophical Transaotions ecc. Vol. m for the year 1673, n.^ 97, pag. 6119-6126 e n.^ 98, pag. 6140-6146. U in: Ohristiani Hugenii ecc. opera taria, Lugduni Batav. 1724. T. IV (Opera miscellanea) pag. 759-763. Ozanam (Jacques) Dictionnaire mathi^matique, etc. Paris, 1691, in-4^ pag. 487-494. L'Hospital (Guill. Fr. Ant. de) TraitiS analytiqije des SECTiONS coNiQUES — Paris 1720. Liv. X, Ex. VII, pag. 889-395. Eaestner (Abraham Gotthelf) Problematis Alhazeni ANALY8I8 TRiGONOMETRicA. Novi Commentarii Societatis regiae scientiarum Gottingensis, T. VII, 1776, pag. 92- 141 XLVIII Lacaille. Trait^ d'optique reva, corrig^ et aagment^ etc. par plasiears ^l^ves de TEcole Polytechniqae. Noavelle edi- tion. Paris 1807, in-8, pag. 73-76. La soluzione del Pro- blema di Alhazen che si legge in questa edizione delVOU tica del Lacaille e dovuta agli allievi della Scaola Po- litecnica. Pessati (Gioachino) nelVopera: Elementi di ottica e Di ASTRONOMiA dcl canonico Giaseppe Settele — Boma 1818, in-8^ vol, I, pag. pag. 70-71. Pieri (Gialiano) e Flaiiti (Vincenzo) nelle: Lezioni ele- MENTARi Di OTTiCA di Ignazio Calandrelli. Boma 1846, in-8% pag. 118-117. Altri dati bibliografici relativi al Problema di Alha- zen si trovano nelV AmencB,n Joarnal of Mathematics; edited by J. J. Sylvester — Yol. IV, namb. 4. Baltimore — December 1881, pag. 827-881, in un articolo intitolato : AlHAZEN^S PrOBLEM, ITS BlBLIOGRAPHY AND AN EXTEN- siON op THE Problem. By Marcas Baker. Pag, XXXIII, nota (1).— Cleomedes. Circularis doctrinae DE sublimibus, libri duo ; reccnsait, intcrpretatione latina instraxit, commentariam Boberti Balforei saasqae ani- madversiones addidit Janas Bake; Lagdani Batavoram 1820, in-8®. Veggasi nel Lib. 11, cap, 6, pag. 245. Sexti Empirici adversus mathematicos libri X, latine interprete G. Herveto. Parisiis 1569, in fol. 8i vegga nel lib, V, sect, 82. A Cleomede e a Sesto Empirico si pud aggiungere anche Marziano Capella vissuto dllafine del Y secolo delVSra vol- gare, il quale parla della rifrazione nelVopera: Martiani Minei Felicis Capellae Carthaginiensis viri pro- consalaris Satyricon, in qao de Naptiis Philologiae et Mer- carii libri dao etc. Omnes emendati et notis, sive febrais Hag. Grotii illastrati. Lagdani Batavoram m.d.ic, in-8^, pag. 298. XIJX Martianas Gapella — Franciscus Eyssenhardt recensuit — Lipsiae 1866, 1 vol. in-8% pag. 822, lin. 4-7. Secondo Teone, Archimede pure (III secoh avanti V^a volgare) avrebhe conosduto la Bifrazione, ma probahil' mente egli vide soltanto la rifrazione nei corpi diafani senza applicame la nozione ai fenomeni celesti. Alcuni hanno attribuito anche a Possidonio d^Apamea (IP secolo avanti Vera volgare) la conoscenza della Bifra- zione Astronomica. Pag. XXXVI, lin. 27. — Veggasi a proposito di parecchi atro- menti d'ottica attribuiti agli antichi^ un lavoro accuratia- aimo di Th. Henri Martin nel BuUettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche, pubblicato da B. Boncompagni, T. IV, maggio e giugno 1871, pag. 165-288, intitolato: Sur les instruments d'optique fausse- ment attribu^s aux anciens par quelques savants modemes. U Martin^ dopo aver discusso e confutato tntti gli argo- menti addotti per provare che gli antichi avevano conosciuto le lenti, conchiude col dire che : « Aucune preuve directe o: ou indirecte n'^tablit que les anciens aient eu des lunettes € de myope et de presbyte, des loupes ou des microscopes i». Pag. XXXVII, lin. 5. — Louis Dutens nella sua opera : ObIGINE DES DilCOUVERTBS ATTRIBUilES AUX MODERNES, ctc, seconde ^dition, Tome II. Paris 1776, in-8^, alla pagina 228-224, dice : et guoram distantia a Visu moderata est, manife- stiora apparent , guoniam quae appmpinguant visui, nu- merantur in pyramidibus, guae subcedunt humiditati in- teriori dt repellnntvistim. Illa vero; guorum multa est distantia, videntur minns , eo guod radu visus procedentes portant secum 'alignid de nigredine aeris, pet guem transit, et ideo remotae res videntur aereae, 6i guasiiBub velamine ; et gnia visibilis radins est snper caput unins puncti sibi propriii/id- guod videtur per medium radiomm visns, illud videlicet, guod est supei^ axem, magis debet videri 14 guam illud quod in lateribus per laterales aspicitor , guo- niam propinquiorefl sunt privationi. Illa vero quae buc- cedunt axi , remotiora sunt a privatione. Similiter etiam et ea, quae simt in medio sectionimi sphaerarum, quod est principimn pyramidis, cum principium ipsius sphaerae et virtutes quae appropinquant principiis propriis, sint effica- ciores, utpote iactus iactantis, et calefactio calefacientis, et illuminatio illuminantis , et quanto magis a principiis elongantur, tanto debiliores fiunt. Gumigitur principium visibilis radii in flgura pyramidis sit duplez» alterum qtiidem in medio sphaerae in uno puncto, quod est caput pyramidis , alterum vero est recta linea, quae incipit ab isto loco , protenditur per totam longitudinem et est azis figurae ; oportet ut aspectus eius, quod elongatur a capite pyramidis , fiat cum radio minori in virtute quam illius, cuius distantia est moderata. Similiter etiam ea, quae remota sunt ab axe respectu illorum, quae propinqua sunt ei. Diximus ergo quae sunt illa , quae vere videntur , et quae primo, et quae sequenter. Dizimus etiam quae vi- dentur magis, et quae minus. Tenebrae autem nusqaam videntur , sed cognoscimus eas per vacationem , quae accidit visui; quemadmodum nequaquam audimus taci- tumitatem , verumtamen. cognosdmus eam per vacatio- nem auditus , et universaliter cognoscimus species pri- vationis per vacationem sensibilitatis. Quantitatem vero illorum cognoscimus per terminos actuum , sicut cogno- scimus quantitatem loci tenebrosi per continentes lucidum terminos, et cognoscimus tacitumitatis terminos per flnem et principium vocis. Et quia iam diximus, quod modi quibus videntur res vi- dendae, sunt [...?] secunda species, altera quam illud quo 15 ipse visibilis^ensus fit, [...?] debemus eam exponere, dicen- tes prius quod omnia quae vere aut primo videntur, viden- tur utique per passionem guae flt in visu; illa vero quae videmus sequenti mo(}o, videnlur per accidentia quae acci- dunt passioni tantum ; nec passio et accidens, quod ei ac- ciditj in omni visu existunt a virtute regitiva. Nec vere flt hoc ex rebus .videndis tantum, verum etiam per relationem et ratiocinationem inter illas factam, et id quod dividitur et procedit a virtute regitiva; nec propter has relationes tantum intelligimus unamquamque passionum et acciden- tium, sed et^^ecundum sensibilitatem moderatam, quam sentit principium de rebus subiectis; quod demonstrabitur, cum diviserimus iUud in singulis rebus quae videntur. £x hid itaque quae praeposuimus, videmus unumquod- que lucidorum et colorum per passionem quae flt in visu; cetera vero, quae sequenter videntur, videmus per acci- dentia, quae illi accidunt. Passio quidem quae in visu flt, est illuminatio aut coloratio. Illuminatio autem sola in lu- minibus est quaedam de superabundantiis habitudinum, et ideo nocet et laedit sensum. Fit.quoque illuminatio cum ooloratione in rebus , in quibus lumen incidit aliunde ; lumen quoque e% oolor flunt ad invicem habitus propter transgressionem alterius ad speciem alterius, cum luci- dum sit genus eorum, et color, cum lumen incidit super eum , flt lucidum ; lumen vero cum coloratur , mutatur manifeste. Visus autem non flt qualitas alioui eorum ; oportet enim ut sensus perspicabilis non habeat qualita- tem , sed sit purus et suscipiat qualitatem ab illis , quo- niam participat eis etingenere; tamen suscipit mutatio- nem habitudinis ab his omnibus simpliciter , et hoc non semper est sensibile, sed quando quantitas passionis ha- bet sensibilem quantitatem. ad id quod dividitur a virtute 16 regitiva. Similiter etiam diversitates colorum , super quos incidit visus, non comprehenduntur, aum colores rerum subiectarum simpliciter sint diversi, et cetera quae in eis sunt, fuerint consimilia, sed cum mutatio diversitatis co- lorum fuerit sensibilis. Diversitas autem rerum, quarum colores secundum aliquam quantitatem diversi fuerint, apparet a propinquo loco et non a longOi» quoniam visus debilis flt in discernendis rebus remotis. Manifestum est ergo ex his quae diximus, quod visus cognoscit colorem per colorationem accidentem, et cogno- scit albedinem , verbi gratia quia dealbat, et nigredinem, quia denigrat , et sic singulos colores medios. Nec ita se habet res , ut quidam cogitaverunt , quod album videlicet dignoscitur ex disgregatione radiorum , nigrum vero ex congregatione. Primo quidem quia non invenimus neces- sariam causam , qua per alterum illorum disgregentur ra- dii, per alterum congregentur; nec qua comprehendantur medii colores ex illis compositi , videlicet rubeus, roseus et sanguineus. Insuper etiam, id quod maius est, de rebus albedine consimilibus, debet magis videri, quoniam com- prehenditur multis radiis , tum propter accumulationem radiorum, tum quia angulus visibilis pyramidis non re- manet in statu suo , sed cum res subiectae fuerint albae, magis dilatatur , quia disgregant radios ; et cum fuerint nigrae , minus dilatatur propter congregationem , et sic magnitudo , quam visus de coelo comprehendit in die , deberet esse maior illa , quam in nocte , sed nihil inde videtur accidere. Visus ergo cognoscit haec per qualitatem passionis, quae in eo fit» et cognoscit corpora, quoniam accidit in se passio simpliciter, eo quod sunt colorata et prohibentia penetrationem» et cognoscit ipsa universaUter, eo quod superficies res est propria corporibus. Corpora 17 ergo quae non inferunt "visui huiusmodi passionem, ne- quaquam videnlur ut illa quae diximus esse non spissa sed subtilia; nec enim dignoscuntur per visum, nec sen- tiuntur per eum esse corpora. Videtur autem illud , cuius color est spissior, habere maiorem corporalitatem, quam- Tis non tale sit, ut lac ad comparationem vitri. Visus quoque discernit situm corporum , et cognoscit eum per situm principiorum suorum, quae iam diximus, et per ordines radiorum a visu cadentium super iUa, vi- delicet quae flunt in longitudine secundum quantitatem radiorum , qui procedunt a capite visibilis pyramidis, et flunt in latitudine et profunditate secundum distantias eo- rum ab axe consimiles ordine; quoniam diversitates situs secundum hoc fiunt, quod enim videtur longiori radio, vi- detur remotiu?, cum faerit augmentum longitudinis Sensi- bile: quod decet nos intelligere in omnibus speciebus de- ceptionum. Accidit enim quaedam deceptio ex diversitatibus sensibilibus, quae fiunt aliter de his, quae accidunt rebus videndis, quae utique significabimus postea. Magnitudo vero, quae ex augmentationibus modo quolibet reperta in distantiis est insensibilis , debet cognosci universaliter con- sistere ex debilitate visus. Gum aliquid magnitudinem ha- bens fuerit ab aspiciente remotum, ut ea quae videntur in coelo, ex parvitate atitem ipsorum angulorum fit, quando non habent ab aspiciente nimiam distantiam, neque quan- titales eorum habent proportionem ad magnitudines distan- tiarum. lUa vero quae apparent sublimiora, sunt quae vi- dentur per radios magis declinantes ad id, quod est super capita nostra; quae autem apparent inferiora, sunt ea quae videntur per radios inferiores et magis declinantes versus pedes. Similiter etiam quod per radios dextrou videtur , apparet a dextris, et quod per sinistros, a sinistris, et 3 18 ideo per ordinationes situs radiorum facta sunt manife- stiora, quoniam oppositio eorum non iit versus omnia loca singulorum punclorum , qui super caput yidentur ; alioquin accideret utique idem videri quod sursum et quod deorsum , et quod a dextris et quod a sinistris, et nunquam appareret rei situs terminatus, aut appareret omnis situs simpliciter. Rursus omne corpus apparet in uno loeo a lateribus illi, qui aspicit cum uno oculo tantum ; aspicienti vero cum duobus oculis videtur in uno loco , si una comprehen- derit illud cum radiis consimilibus , qui videlicet ba- bent in unoquoque utrarum pyramidum positionem con- similem et aequalem respectu proprii axis sui ; quod fit quando axes utrarum pyramidum conveniunt super unam et eandem rem videndam, quemadmodimi fit quando aspicimus res videndas simplici aspectu , et secundimi quod a natura inest nobis aspicere diligenter. Videtur quoque quod natura ideo* posuit visum dupUcem, ut magis aspiciamus, utque sit visus noster ordinatus et ter- minatus ; insitum est nobis naturaliter ad diversos situs nos volvere pupillas volutione mirabili et diligenti clam elevatas, quousque utrique axes insimul ceciderint super medium corporis videndi , et fiat utrisque pyramidibus una basis in loco contiguationis earum cum re videnda , et fuerit constituta ex omnibus radiis ordine consimilibus. Si vero coegerimus visum modo quolibet excedere conrae- tudinem suam, et divertamus eum ad aliam rem praeter illam, quam videre volebamus, et res ad quam tendimus, fuerit moderate minor quam distantia, quae est inter oculos et radii oculorum insimul, non utique illi qui ordine sunt consimiles , sed alii ceciderint super aliam rem quam illam, quam aspicere volebamus, videbitur eadem res in 19 duobus locis ; et cum clauserimus vel texerimus alterum oculorum , statim abscondetur id quod est in altero duo- rum locorum , et remanebit alterum apparens , quandoque quidem illud, quod est versus oculum tectum, quandoque vero quod est versus allerum oculum. Quod utique leviter intelligetur, si tentaverimus illud exponere tali modo. Gonstituatur regula brevis et duo cylindri subtiles longi, stantes super eam ad rectos angulos, et sit distantia al- terius ab altero et ab extremitatibus regulae moderata; et ponatur altera extremitatum inter oculos , ita ut cy- lindri sint super rectam lineam stantem super distan- tiam, quae est inter oculosad rectos angulos. Si ergo cum oculis nostris tenderimus ad propinquiorem nobis cylin- drum, videbimus eum unum; alterum vero qui remotior est , duos ; et cum clauserimus klterum oculorum, abscon- detur de duplici cylindro id quod est oppositum eidem oculo de duabus formis eius. Si vero tenderimus cum oculis nostris ad remotiorem cylindrum, rursus videbimus eimi unum, et videbimus propinquiorem in duobus locis ; et si clauserimus alterum oculortim, abscondetur de du- plici cylindro id,,quod de duabus flguris eius est in diversa parte iUius ocuU. Quod igitur imumquodque istonlm acci- dat, et sequens sit his quae praeposuimus, dignoscetur per hanc flguram. Sint capita pyramidum {fig. 1 ) puncti a & , et sit 6 super dextrum oculum et a super sihistrum , sintque super li- neam perpendicularem, quae est super a b, ad rectos an- gulos duo cylindri erecti, videlicet g^ d, et producantur ad eos ab omni capite duarum pyramidum radii ag, bg, ad, b d, et tendamus prius cum visu nostro ad gf , qui est pro- pinquior; erunt ergo ag et bg super ipsos axes. De residuis vero duobus radiis, ad erit unus de sinistris radiis; manife- 20 stum quogue est, guod bd est unus de dextris radiis; unde oportet g quidem videri in uno loco , eo quod unusquisque axium est ordine similis alteri; d vero debet yideri in duobus locis , quoniam a d est radius sinister de radiis sinistri oculi; radius autem bd dexter de radiis dextri oculi. Gum ergo texerimus sinistrum oculum, abscondetur m sinister, et cum dextrum oculum texerimus, abscondetur dexter. £t si tetenderimus cum visu nostro ad d , fiet e converso; quod demonstratur quia ad et bd erunt super axes; videbitur itaque d unus et g duo , quoniam acddit ag esse unimi de radiis dextris sinistri oculi, et bg unum de radiis sinistris dextri oculi ; et ideo e converso fit , quam illud quod prius accidit , videlicet si sinistrum oculimi texerimus, abscondetur id quod in dextro Isttere videtur per radium ag, et si texerimus dextrum ocu- lorum , abscondetur quod in sinistro latere videtur per radium bg. Si vero aspectus noster talis fuerit, quod utrique axes insimul npn ceciderint super rem videndam, sed fuerint sensu aequidistantes , veluti ag , bd (fig. 2) , videbitur unusquisque cylindrorum duo, secundum principia, quae praeposuimus. Et ut hoc pateat et demonstretur , debet esse cylindrorum propinquior, super quo est l, albufi, re- motior autem, super quo est m, niger. Videbuntur ei^o puncti l, m in duobus locis ex lateribus locorum, in quibus sunt puncti l, m. Si ergo texerimus oculum sinistrum, abscondentur utrique cylindri qui in dextro latere sunt; si vero dextrum oculum texerimus, abscondentur cylindri qui in sinistro latere sunt. Quoniamradii al, am,bl,bm cum producti fuerint, distantia quidem a l erit versus latus dextrum magis quam distantia am, et distantia bl ad latus sinistrum magis quam distantia bm, et ^o per ocu* 21 lum sinistrum videbuntur cylindri dextri , et per dextrum oculum sinistri. Rursus si posuerimus {fig. 3 ) utrosgue oxes aeguidi- stantes, et constituerimus regulam, ut sit aequidistans li- neae guae est inter oculos, et cylindrum album ante oculum sinistrum et nigrum ante dextrum, et fuerit distantia inter utrosque cylindros , ut illa quae est inter oculos , vide- buntur duo cyllndri tres. Per radios quidem visus ordine consimiles , videbitur unusquisque eorum unus , quamvis non incidant super eos utrique axes, eo quod cylindri po- siti sunt in lateribus. Per radios vero, qui extra ordinem sunt , videlicet am et bl, tertius cylindrorum medius vi- debitur conipositus ex duobus coloribus. Si ergo texerimus dextrum oculum , abscondetur dexter de duobus cylindris, qui sunt a lateribus medii , videlicet niger cum alba parte medii cylindri ex duobus coloribus compositi ; et si texe- rimus sinistrum oculum , cylindrus albus, qui a sinistris est, abscondetur cum nigra parte cylindri ex duobus co- loribus compositi. Gum enim copulaverimus radios visus, per illos quidem, super quos sunt atn, bl, et non sunt ordine consimiles, videbuntur utrique cylindri in uno loco, illo videlicet, quo conveniunt duo colores ; de reliquis autem duobus radiis visus cadentibus super I et m, per dextrum quidem eorum videbitur niger cylindrus, per sinistrum autem albus. Gum igitur texerimus dextrum oculum, abscondetur niger, qui dexter est, cum alba parte cylindri compositi; et cum te- xerimus oculum sinistrum, abscondetur albus, qui sinister est, cum nigra parte cylindri compositi, quod demon- stratur per hanc flguram {fig. 4). Et cum distantia, quae est inter cylindros, non fiierit aequalis illi quae est inter oculos , videbuntur duo cy- 22 lindri in quatuor locis. Si igitur distantia inter l, m fuerit maior quam quae inter a, b, et cylindri fuerint a lateribus axium , niger quidem videbitur in duobus locis dextris , quoniam am et bm utrique sunt dextri; albus vero vide- bitur in duobus locis sinistris , quoniam al ei bl sunt sinistri. Cum ergo texerimus oculum sinistrum, abscon- detur de duobus nigris remotior, ille videlicet, quiMdetur per radium a m , quoniam radius iste magis est dexter quam bm; et abscondetur de duobus albis alter de mediis, qui videtur per radium al; radius enim iste minus sini- ster est quam b L Cum autem texerimus dextrum oculum, abscondetur de duobus albis remotior, qui videtur per radium bl, et de duobus nigris, alter de mediis » quivi- detur per radium bm, £t si fuerit distantia inter l, m (fig. 5) minor quam quae inter a,b, et fuerint axes a lateribus /, m, niger utique videbitur a dextro latere per radium a m, quoniam radius iste magis est dexter quam al, et sequitur eum in aspe- ctu albus , qui videtur per radium a L Gumque texeri- mus oculum sinistrum , abscondentur hae duae fonnae, et subsequetur alter mediorum radiorum , qui est ex parte sinistra/ et rursus videbitur per eum niger, et iste radius est bm , quoniam minus sinister est quam b l; videbitur autem in remotiori parte cylindrus albus per radium b L Similiter etiam cum texerimus dextrum oculum , abscon- dentur hae formae. Haec itaque accidentia quae praeposuimus , non fiunt et apparent nisi causa distantiae, quae existit in latitudine tantum, quoniam secundum altitudinem et profuuditatem utrique oculi aequales sunt in positione. Positio autem in lateribus non ita se habet. In hac enim specie situs fle- ctuntur quidem utrique axes pyramidum, quousque coae- < S' 23 quatus fuerit situs basium super^rem videndam. Possibile quoque est oculos flecti ad aliam partem, quam secundum latitudinem, sed impossibile est differri declinando sursum vel deorsum, quoniam alter oculorum non est constitutus altior altero, nec natura hoc indiguit, quoniam non iun- guntur secundum profunditatem, sed situs eorum aequalis est, et conveniunt radii eorum declinando ad latera. Du- bitationem quidem , quae in his contingit ex eis quae apparent, et per scrutationem de unaquaque rerum appa* rentium quo apparet, exponemus in tempore et loco com- petenti, ne interrumpatur id quod signiflcare proposuimus. Magnitudinem vero cognoscit visus, quando diametri ba- sis , quae est super rem videndam , habent sensibilem pro- portionem ad distantiam inter nos et illam existentem , quod flt cum radii, qui eam continent, constituerint sensi- bilem angulum in capite pyramidis; et hac de causa plures magnitudines,quae prope existentes videntur, non apparent a longe, quoniam radii iunguntur in remotis distantiis, et faoiunt angulum quem continent insensibilis quantitatis. Accidit autem maiori angulorum unius pyramidis magis continere de radiis visibilibus, non tamen cognoscit visibilis sensus rem esse maiorem propter multitudinem inciden- tium ibi radiorum eius; ut quidam existimaverunt causam attribuentes distantiae, videlicet quod cum una et eadem magnitudo videtijr a longe, apparet minor propter paucita- tem radiorum, qui super eam cadunt, etnequaquam ap- paret, quando nihil de radiis attingit eam, cum ceciderit in defectum et minutionem radiorum ; sed neutra istarum sententiarum vera est, quoniam non videtur aliquid maius aut minus propter multitudinem radiorum visus et pau- citatem eorum tantum, cum non fuerit diversitas quan- titatis radiorum ex quantitate anguli, sed ex accumulatione 24 et coDgregatione eorum. Nec tunc videtur res maior vel minor , utpote una et eadem res subiecta , super guam lumen incidit, non videtur utique maior aut minor propter multitudinem vel paucitatem eius, quod inde caditsuper eam , et non ex magnitudine vel parvitate diametri eius. Singula autem istorum patebunt ex ipsis rebus apparen- tibus, quonJam si eamdem magnitudinem, quae recte et secundum eamdem habitudinem videtur, oum utrlsque oculis aspexerimus, magis videbimus eam quam cum uno oculo; et cimi aspexerimus eam sine interpositione» magis videbitur, quam cum inter nos et illam fuerint aliquae res subtiles, quas visus penetrat, et aliquantum ei resistunt. Nec est in aliquo istorum quod appareat minud. Si quis enim posuerit aliquid subtile, quod visus penetrat, inter rem lucidam et res super quas lumen incidit , lumen utique minus cadet super eas , quam prius , sed non ha- bebunt alterae diametros maiores alteris. Res quoque vi- denda cum valde parva fuerit , et propter parvitatem non videtur, nec accidit ei hoc, quia incidit in locimi minu- tionis radiorum visus. Oportet autem cognoscere , quod natura visibilis radii, in his quae sensus consequitUTi con- tinua est necessario et non disgregata. Si vero posuerimuB mathematicas demonstrationes , et constituerimus radios visus tamquam rectas lineas, magnitudines utique magnae» quae sunt in distantia aequali distantiae qua parvae res non videntur propter parvitatem earum , apparebunt manifeste» quod non acciderit, si visibiles radii in illo loco minue- rentur et disgregarentur. Similis quoque esset ibi apparitio magni et parvi , quoniam cum id quod de radiis cadit super diametros eorum per totam basem, sint singuli radii, et quod ex unoquoque ipsorum radiorum comprehenditur» sit punctus, et quae sunt inter ipsos punctos dist^ntiae ha- 25 beant magniiudiDes , non debet videri id quod est in di- stantiis , guia radius visibilis non cadit super illas ; nec puncti etiam videbuntur, cum non habeant quantitatem, neque subtendant angulum. Erit ergo omnis res illa in- visibilis. Sed si quis dixerit, quod quidam radii visus erunt disgregali et quidam continui in eadem distantia, hoc verbum cum non habeat necessariam rationem , infert utique dicenti ambiguitatem et errorem ex his quae actu videntur ; deberet enim secundum hanc sententiam una- quaeque magnarum rerum videri disgregata et non conti- nua, parvae vero quandoque videri et quandoque abscondi ; existentes in eadem a visu distantia quandoque res vi- dendae ad latera transferuntur. Sequitur autem ea quae praeposuimus, debere inveniri et dignosci diversitates ma- gnitudinis rerum secundum differentias angulorum eis proportionalium , cum anguli , sicut diximus , fuerint sen- sibiles et non diiferant in alio , cum diversi fuerint in sensu y et de magnitudinibus fiat imaginatio , qupd sit in eis diversitas , non causa earum vere , sed quia angulos fadunt diversos. Gum ergo omnia coaequata fuerint, et eundem statum habuerint, excepta distantia et situ et angulo, illud quod aspectum rei facit maiorem , est ex distantiis quidem id quod propinquius, ex situ autem id quod est magis oppo- situm, anguli enim in utraque istarum habitudinum fiunt maiores; cumque dicimus magis oppositum, hoc senti- mus, ut visibilis radius, qui cadit in rei medium videndae, sit perpendicularis , et dicimus illum esse proclivem ad latera , cum aliquis visibilium radiorum non sit super eam perpendicularis , aut sit ex alio radio , quam eo qui in medium cadit. Dicimus quoque distantiam rei propin- quiorem , cum radiua qui in medium rei cadit , fuerit 26 brevior, longiorem vero, cum idem radius fuerit longior. Praedictae autem duae species, per quas consideratur ma- gnitudo aspectus rerum, non differunt in sensu; reliqua vero differt, quoniam si fuerit diversitas a tertia specie, videlicet ab angulis , apparebit res maior, cum continens angulus fuerit maior. Quemadmodum si fuerint duae magnitudines , ut afr , gd (fig. 6), et habuerint eumdem situm et eamdem di- ^ stantiam, et continebuntur angulis inaequalibus; tuncab qui continetur maiori angulo , ad punctum e , videbitur maior, et si fuerit diversitas in reliquis duabus speciebus tantum, numquam res videbitur maior, sive habuerit maiorem oppositionem, sive fuerit propinquior. Videbitur ergo aut minor aut aequalis, et in unaquaque earum hoc apparebit secundum proportionem, quae per- tinet ipsis quantitatibus , veluti si fuerint duae quantitates ab, gd {fig. 7) , habentes eumdem situm et subtendenteer eumdem angulum, qui est e. Gum ergo distantia a b non sit aequalis distantiae gd, sed propinquior ea, a 6 utique numquam apparebit maior quam gd, secundum quod decet propter propinquitatem suam , sed aut minor apparebit, quod fit cum distantia alterius ab altera habuerit sensi- bilem quantitatem , aut videbitur aequalis ei , quod flt cum quantitas diversitatis distantiae fuerit insensibilis. Similiter etiam cum fuerint duae magnitudines, ut a 6, gd {fig. 8), aequalis distantiae, et subtenderint eumdem angulum, qui est e, situs autem eorum fuerit dissimilis, altera quidein earum opposita existente, altera vero ad latus proclivi, fuerit autem ab opposita, numquam ap- parebit a6 maior quam gd, secundum quod provenit ex oppositione, sed aut minor apparebit*quam gd, quod flt cum diversitas utriusque magnitudinis habuerit in situ 27 sensibilem guantitatem , aut videbitur aequalis ei , cum diversitas in situ fuerit insensibilis. Videtur autem id , guod ex consuetudine fit, in mensura istarum rerum ad invicem, ex opinione procedere, non ex natura situs ne- gue distantiae. Cum enim guaedam sensibilitas flt ex an- gulis , et videntur guaedam res proclives existentes , et guaedam remotae , et guislibet opinetur unamguamgue istarum minorem esse, guamvis sit una, in aspectu au- tem non inveniatur alte)*a minor altera , sed aegualis , existimamus unam ex eis maiorem esse ; guoniam cum diversitas proclivitatis et distantiae fuerit insensibilis, ap- parent duae res aeguales ; et cum fuerit sensibilis , fit diverso modo. Veluti si in flgura {fig. 9) , in gua erat idem situs, con- stituerimus parvum angulum , guem contineant lineae hze, etk, semper utigue videbitur magnitudo^d maioi* guam z t , guoniam remotior est , et angulus , gui eam continet , maior. Verum A k numguam videbitur maior guam a&, cum id guod ex angulo provenit, non supe- ratur ab eo guod ex distantia tantum. Videbitur autem minor altera, cum diversitas inter utrasgue distantias, et diversitas guae est inter angulos , habuerint sensibilem guantitatem , sed cum non habuerint sensibilem guanti- tatem, sicut primo videbuntur aeguales. Rursus constituamus in figura (/S^. 10), in gua erat di- stantia eadem et positio diversa, parvum angulum, guem contineant kte , ezh; magnitudo ergo gd semper vide- bitur maior guam z k , conferunt enim ei ut maior vi- deatur , magnitudo anguli , declinatio situs ad latus ; A t autem numguam videbitur maior guam ah, guiaid guod provenit ex angulo, non superatur ab eo, guod provenit ex situ tantum. Videbitut autem minor , cum diversitas 28 proclivitatis et anguli fuerit sensibilis; guae cum non fde- rit sensibilis , videbitur aequalis illi. Si vero situm utrarum magnitudinum, guae sunt m ipsa figura {flg, 11), reliquerimus in eodem statu, et copola- verimus gb , semper videbitur gb maior quam ab^ quia remotior est et magis obliqua ad latus , et nuUa inest diversilas angulis earum. Apparebit autem gd maior quam b g , cum id quod ex distantia sequitur , fuerit muuB illo quod ex proclivitate; appariebit minor ep, cum illud quod ex distantia sequitur, aequale fuerit in sensu. Sed cum utraeque maguitudines fuerint habitu diversae ez praedictis tribus partibus, sicut flt, cum constituerimus figuram , quae habeat situm utrarum magnitudinum con- similem {fig. 12) , et protraxerimus lineam ^j in b, semper apparebit gb maior quam zt, quoniam omnes tres diver* sitates conferunt ei, ut maior videatur, videlicet joiagni- tudo anguli, declinatio situs ad latus et magnitado di- stantiae. Yidetur etiam maior quam hk, quoniamfr^ habet duas de diversitatibus , quae constituunt rem maiorem , videlicet magnitudinem anguli et declivitatem situs. Sed Im semper minor est quam gd; duo enim sunt, guae hoc faciunt, scilicet parvitas anguli et propinquitas. Quod au- tem inest gd, quo minor apparet, est maior oppositio tantum , nec secundum omnes dispositiones videtur Im minor quam a5. Non enim habet ab, guo maior debeat videri, nisi magnitudinem anguli tantum » sed Im habet guae ei favent distantiam remotiorem et situm declinan- tem ad latus; tamen Im videtur maior, cum diversitas guae ex duabus partibus insimul fuerit maior guam di- versitas guae ex angulis ; si vero diversitas , guae ex duabus partibus fit , fuerit minor , apparebit Im minor guam ab, et cum fuerint aeguales, apparebunt aequnles. 29 Hac igitur de causa non debemus arbitrari illos esse sufQcientes , qui dixerunt distanlias tautum debere addi super id guod de angulis , et quod e|^ attributum est ; diversitatem vero positionum vocari insensibilem ; ubi dixerunt quod distantiae debent esse aequales. Quamvis enim nuUa sit diversitas ex distantiis , tamen multoties accidit diversitas ex situ ; unde fit in magnitudine ima- ginatio diversa ab illa quae flt ex. angulo , cum posue- • rimus hanc diversitatem rursus esse sensibilem. Uni- versaliter ergo si apparuerit , quod magnitudo rerum videndarum cognoscitur per magnitudinem angulorum , illud sit principalius et aptius. Similiter etiam si appa- ruerit, quod diversitates sensibilium dignoscuntur per diversitates convenientes et proportionales eis ; naturale enim est, ut sensibilitas rerum fiat per genus, quod com- mune est accidentibus. Genus autem commune magnitu- dinibus et angulis est quantitas ipsarum rerum conti- nuarum subiectarum; commune quoque distantiis genus est quantitas distantiae in unaquaque illarum; genus vero commune positioni rerum est habitudo locorum earum. His ergo de causis visus cognoscit distantias per longitu- dinem radiorum,, et cognoscit positiones per qualitatem positionis basium. Restat igitur, ut magnitudo i^erum quae videntur , comprehendatur primo et vere ex quantitate basis , quae refertur ad principium, quia inde.dignoscitur per guantitatem continentis anguli. Figuras autem cognoscit visus per figuras» basium , super quas cadunt visibiles radii. Lineas quoque quae figuras continent, cognoscit per notitiam linearum con- tinentium bases , ut rectas et curvas , quae ambae sunt principales de dififerentiis figurarum. Gognoscit vero su-^ perficiem totum continentem , planam videlicet et sphae- 30 ricam, per super&ciem totius basis. Seniit autem rectam lineam, cum iongitudo lineae, guae esl inter extremitates radiorum visus, %ierit extensa quanlo magis extendi po- test, et ideo recta linea sola facta est minor onmibus li- neis, guae continent terminos, et baec est naturalis ratio de recta linea. Ideogue rationamur de rebus rectis, primo guidem per corpora , guorum partes similes sunt , quae utigue extendimus guanto magis possumus, ut capillos et fila lini; similiter etiam per regulas et dioptras, et id quod^ est erectum penes orizontem. Sentitur autem curva linea, guando onmes radii visus, gui super eam cadunt, con- tinent eam cum altera una et eademlinea ad angulos aeguales in capite pyramidis, et ipsa linea pervenerit ad centrum circuli. Rursus superflcies plana sentitur , quando per totam basem , super quam cadunt visibiles radii , coaptantur rectae lineae undigue. Sentitur autem superfldes sphaerica, cum undigue coaptatae fuerint circumferentiae super omnes partes basis. Apparet guogue nobis super^ flcies aut linea concava, cum fuerit proportio visibilis radii ad rectos angulos incidentis maior ad obliquos ra- dios, quam proportio consimilium radiorum de his, qui cadunt super planam superflciem, aut super rectas lineas; et apparet tiobis curva, cum proportio fuerit minor. Hae autem duae figurae idem sunt, et unaquaeque earum ad alteram habet similem proportionem, suntque de his quae vocantur relativa, ut ascensus et discensus, et unaquaeque earum coaptatur super alteram , curva quidem supercon- cavam , et concava super curvam ; quod enim extrinsecus continet , est concavum quoddam ; contentum vero est curvum.' Similiter autem res concavae comprehenduntur per superficies basium curvarum, et curvae per superflcies basium concavarum , utpote illae quae tactu sentiuntur. 31 Quare quae curvae sunt; comprehenduntur per concavita- tem manus continentis, et guae sunt concavae, comprehen- duntur per curvitatem manus contentae ab ipsa re. Simili guogue modo erit habitus omnium flgurarum ex primis fi- guris compositarum. Sciendum est autem^guod omnia guae de his proferuntur, oportet nos reiterare et dicere, guod magnitudines , propter guas fiunt diversitates , debent esse sicut magnitudines angulorum in his guae de rectis lineis consistunt. Diversitates profunditatis in sphaericis figuris debent habere guantitates proportionem habentes sensibilem ad distantiam, guae est inter eas et visum; quia si non habuerint sensibilem proportionem, videbun- tur res, guae fectas lineas habent, ut guae rotundae. Non enim oxnnis res, in gua est magnitudo, habet continen- tem angulura sensibilem , guoniam eminentiae circum- dantes rem , cum fuerint valde remotae , anguli earum minuuntur, ita guod nec septiri possuht. Curvae guogue et concavae lineae et superficies apparebunt rectae et planae, cum praedicta proportio fuerit insensibilis. Nec apparebit differentia, guae in gualibet istariun figurarum est, propter distantiam, et ideo videmus sphaeras nobis propinguas esse curvas; figuram autem solis et lunae undigue similem disco, guoniam de terminis radiorum visus, (fiii continent figuram uniuscuiusgue eorum, fit circulus, medius vero radius sit perpendicularis, guod accidit in sphaeris guo- modocumgue positis. In flgura autem guae similis est disco, non ita flt, nisi cum fuerit oppositus tantum. Fit guogue in diversitate guantitas, cum perpendicularem, guae super rem incidit, prohibuerit curvitas diu antea perveniendi ad centrum.Cum linea enim, guae ad superficiem ipsius sphae- rae acentro procedit, non habuerit sensibilem proportionem ad perpendicularem , quae in superficiem cadit, et lineam 32 guae pervenit ad centrum , neque inter radios circnm* dantes ct radios cadentes super planam superficiem, in qua est linea, et quae continet rem yidendam, tunc ergo non sentitur curvitas , nisi ut plana superflcies. Bt ideo non videmus latitudinem rerum disco similium , cum ita fuerint positae, ut superficies earum productae transeant per caput visibilis pyramidis , sed apparent nobis quod sint lineae rectae. Similiter etiam omnes superflcies appa- rebunt lineae, et linea recta punctus, cum productae tran- sierint per caput pyramidis. Rursus cum flgura disco si- milis fuerit prope aspicientem exposita , ut dictum est , videbitur curva; et cum valde remota fuerit, apparebit recta linea, ea de causa quam exposuimus. Sed cum superflcies non fuerint oppositae visuii nec productae transierint per caput pyramidis , videbuntur quidem superflcies esse; flgurae autem earum non vide- buntur similes his , quae visui erant oppositae. Figurae igitur quadratae et circuli apparebunt de diversa longitu- dine , quoniam laterum et diametrorum aequalium illa quae erecta sunt super medium radium oculi ad rectos angulos, subtendunt maiorem angulum quam illum, quem subtendunt proclivia, et quod prope est, subtendit maio- rem angulufai , quam id quod est a longe , et quorum augmentationes existunt sensibiles, et fuerint in distantiis moderatis, apparent maiora. Diversitas quidem huiusmodi imagiuationum flt causa situs flgurarum et distantiae aspi- cientium , sed impossibile est secundum unum habitum fleri, qui constet ex imaginatione omnium. Ac si quis multa inde ad invicem quanto magis ex- quisite componere conaretur, naturalis quidem compo- sitio visus res est mirabilis in casu suo , qui ordinate flt cum extensione sua , et sensibilitate quam exhibet vi- 33 dendi et discernendi diversitates subiectarum figurariim, quomodocumque positae fueriiiLt. Facit autem hoc velociter sine tarditate aut intermissione, et utitur diligenti rati(?- cinatione cum mirabili virtute fere incredibili, et agit haec insensibiliter propter celeritatem suam. Quod possibile est nobis inteUigere specialiter in rebus» guas lumen penetrat, cum de radio luminis quomodocumgue incidentis fiat flexiOy et multa de diversitatibus figurarum faciat in his, guae propingua sunt eis. Quod statim perdpimus propter mutationem figurarum in rebus, quas lumen penetrat, et translationem locorum suorum. In umbra etiam et luce similiter agit, et hoc ordinate et decenter secundum po- sitionem et partem illam, ad guam declinat. Sufficiant ergo guae inde dicta simt nobis, guoniam series verborum per- duxit nos ad exponendam naturalem creationem visus , guaio nulla faUacia vel negligentia conseguitur. Dicamus ergo de motUi gualiter visus cognoscit unam- guamgue specierum eius, ut illam guae est in magnitu- dine» et vocatur augmentum et minutio, et ^llam guae in figuris et coloribus, et est mutatio eorum eis propria» et illam guae in corporibus , et est translatio. ^ost haec vero seguitur habitus de dubitationibus , guae accidunt visui in singulis rebus videndis. Primo guidem dicimus guod species motus universarum rerum, excepto motu translationis, est simplex; illud enim, per guod visus cognoscit figuras et colores et corpora, passio est , guae in eo fit, et accidens, guod ipsi passioni accidit ; tunc enim sentit ea, et intelligit mutationem eo- rum , guando sensibili mutatione in minori sensibilium temporum mutantur, ut augmentum, guod sentit» cum an- gulus, gui unam et eandem magnitudinem, unum et eun- dem 9tatum habentem contineti fuerit maior guam exti- 34 terat, minutionem vero, cum fuerit minor. Sentit quoque mutationem flgurae, cum flgura rei apparentis mutaverit superflciem basis visibilium radiorum cadentium super unam et eandem rem; et sentit mutationem eoloris, cum color gui ex uno et eodem corpore accidit visui, mutabi- tur, et visus susceperit aliam passionem de .pasnonlbus colorum ei accidentium a subiecta re. Species autem sensibilitatis de motu translationis in- diget particulari distinctione, ut demonstretur qualis sit, et cognoscatur habitus eius in mutatione. Gausa igitur videndi ea, guae de his apparent principaUtjBr» ezistit in ipso visu ; unumquodque enim videtur stabile , quando principio , in quo est visus , non accidit translatio sen- sibilis in tempore cpntinuo, et terminus unius et eius- dem radii comprehendit de subiecta re unam et eamdem partem in sensu , aut cum acciderit in eo quaelibet trans- latio , et apparebit scrutanti , quod quantitates distantiae radiorum , quibus res videtur, fuerint aequales in aequa- libus temporibus; non cognoscitur inde motus et quies visus, nec quantitas eorum per visum, sed per sensum tactus , qui pervenit ad virtutem regitivam , qaemadino- dum non dignoscimus motum manuum nostrarum per visum , cum oculi fuerint clausi, sed per continuationem, quae ad virtutem. regitivam pervenit. Videmus autem quamlibet rem videndam moveri» aut cum visus steterit stabilis in minori sensibilium temporum, et mutatio vi- sibilis radii quolibet modo fuerit sensibilis , aut cum visus transiens non religuerit rem videndam ad poste- riores radios guantitate aeguali praedictae guantitati in temporibus aegualibus. Licet guogue nobis cognpscere distinctiones eorum guae diximus de motu et guiete vi- sibilis radii per manifestiorem praefato modum, secundum guod exposituri sumus. 35- Esto prius propter res guae videntur et movehtur se- cundum oppositionem visus , unus ex visibiliLus radiis » videlicet ab {fig. 13), et sit a super caput pyramidis. Si ergo visus fuerit stabilis , et non moveatur in tempore conlinuo , et rem videndam visibilis radius comprehen- derit in puficto b, videbitur utique stabilis, et si in allo quam in puncto b, apparebit quidem remotior, cum tran- sierit ad locum extra punctum b; videbitur autem pro- pinquior, cum transierit infra punctum b. Sed cum se- cunduni oppositionem transierit visus ut ab a ad ^ super lineam ab , et transierit punctus d ad 6 , et res videnda fuerit d, %i locus quo res videnda invenitur, fiierit ille, quo prius fuit punctus 6, videbitur utique stabilis, et ra- dius ad tanto amotus, quanto visus praecessit, qiiod est ag; et si res videnda inventa fuerit in alio loco quam in (, si quidem fuerit in puncto d, videbitur moveri ad illam partem , ad quam et visus, aequali motu. Si autem fuerit in aliquo puncto praecedenti d, videbitur velocius moveri ad illam partem ; et si fuerit in aliquo loco inter b et d, movebitur ad partem illam tardius; et si fuerit ih aliquo de posteripribus locis b, movebitur ad diversam partem. Rursus ponamus aliud exemplum propter motum qui flt ad latera, et producantur a visu plures radii de puncto a {fig. 14), qui est caput pyramidis , ut ab, ag, ad, sint- que stabiles et non transferantur. Cum ergo unus et idem fuerit situs rei videndae, utpote cum fuerit super ag, apparebit stabilis, et si aliter fuerit situs eius, ve- luti cum fuerit super ad et ab, videtur moveri. Si vero visibilis pyramis movebitur circa punctum capitis sui , qui est a, et arbitrati fuerimus quod distantiae istorum positorum radiorum sint aequales ad inviceni, et quod 86 motus ad eamdem partem fltp ut de 5 ad gr, et de 9 ad d» res quae aspiciebatur per radium ab, gui est radius subsequens» et iterum apparebit immobilis, quoniam positio ab eadem erit illi quae ag; sed cum pervenerit ad qualemcumque alium radium praeter istum, vide- bitur moveri. Si enim aspicietur per ipsum xadium ag, positio eius erit eadem quae ad, et videbitur moveri ad partem» ad quam visus movetur motu consimili; et si videbitur per aliquem radiorum , qui praecedunt ra- dium ag, videbitur moveri ad ipsam partem velocius; et si videbitur per aliquem radiorum qui sunt inter ab et agt videbitur moveri ad ipsam partem tardius^ et si vi- debitur per aliquem radiorum subsequentium b, videbitur moveri ad diversam partem. Quia igitur motus , qui flt in minori sensibilium tem- porum , debet esse sensibilis, dicimus quod si altero utro- rum privabitur, impossibile est motum fleri sensibilem; quoniam si distantia motus habuerit moderatam quanti- tatem, et tempus quo flt, fuerit insensibile, saepe enim hoc accidit in rotundis motibus, sicut apparet in troco et in rotis curruum equorum, cum vehementer volvuntur, non apparet in illis motus, quum restituuntur ad prima loca in velociori tempore , quam illud quod est minus de temporibus sensibilibus , quia visibilis radius in tem- pore p quod siensu continuum est , stabilis manet super loca rei videndae quae obtinet, quod proprium est rebus quae non moventur. Rursus si jnotus insensibilis flt in brevi tempore sensibili, sicut multoties accidit in rebus quae moventur, cum inter eas et aspicientes multa fuerit distantia, ut ea quae volvuntur in coelo, et res remotae in pelago, non videntur moveri ; cumque omnis magni- tudo et omnis locus dignoscatur per distantiaSy quas 37 vlsus sentit universaliter guidem, si locus, ad quem illud qudd inovetur transit, fuerit insensibilis, nec jfes videbitor nec inotio eius. Et si hoc acciderit in unoquoque parvo tempore sensibili, nec quando hoc fit, sentitur, nec quan* tum fuerit illud de tempore , quod vocatur nunc ; nihil ergo inde apparebit in tempore continuo, sed videbuntur moveri tantum^, si praetermisso sensu, aliter ho6 didice* rimus ex primo eorum loco. Demonstravimus ergo qubmodo comprehenditur una* quaque rerum videndarum ex passionibus, qtiae flunt in visii et accidentibus , quae ipsis passionibus accidunt, et sufBlcit nobis quod inde dictum est. Sequitur atitem hoc ut aliquam distinctionem ponamus in deceptionibus, quae In eis accidunt, ut inde possimus solvere dubitationes, quae in quaestionibus accidunt de scientia opticorum. Et quia eorum, quae in ipsis rebus accidunt, quaedam sunt ex causis communibus universis sensibus, et quaediam ex causis visui propriis in ipsis rebus quae vid^ntur, qixaedlan vero in visu, et qoaedam in mente, dignuni est itlud di- scerni et dicere de deceptionibus ^ quae sunt iUae quae flunt in ipso sensu, et quae flunt in arbitratione mentis. In his enini, quae universis sensibus coraxn sunt, non debet visui ascribi fallacia; apparet enim in eis aliquid ex his, quae secundum naturalem cursum flunt in tmi- versitate ipsius accidentis , et invenimus plures causas eorum flerl ex augmeito et minutione, quae flunt ex vir- tute sensibili, aut ex dlversitatibiis quae flunt in ipsis rebus sensibilibus , ctini fuerit comparatio ad invioem facta, vel altera fuerit ad latus alterius posita, ricutais- cidit in scientia opticorum de comparatione virtutis ad invicem, ut quomodo, qua de causa easdem res eanddm distantiam habentes quidam vident» et quidani nos vident. 38 Similiter etiam de rebus, quae sunt propinquiores , et^ quae suut r^motiores; causa est enim in his omnibus secundum magis et minus. Causa vero videndi res a longe est abundantia visibilis virtutis, unde seniores sem- per vident rem a minori distantia, quoniam visibilis virtus debilis eificitur in eis cum ceteris virtutibus. Illi autem qui habent oculos concavos , vident a maiori distantia , quam illi qui tales oculos non habent; cuius causa est virtus visibilis, quae fit prope coarctationem ; cum enim processio fuerit ex angustis locis , protenditur visus et eiongatur. Causa quoque videndi res a propinquo loco est humiditas , cuius pars recedit cum visu , quoniam cum fuerit pauca, accidit statim, cum processerit visus, disce- dere iUum ab ea, et videri res propinquas exquisite; cumque muita fuerit humiditas , videbitur res a magna distautia, ita quod qui voluerit indubitanter videre, ne- cesse est ei aspicere a longe. Simile autem huic quod in visu accidit, accidit et in tactu; unam enim et eandem rem moUiorem quidem sentit ille, qui corpus habet aspe- rius, quam qui corpus habet mollius. Cuius autem corpus est calidius , sentit illam frigidiorem , quam ille cuius corpus est frigidius. Rursus cum eadem magnitudo tota- liter videtur maior , partes autem eius minores, et sensus obvians ei insimul, magis cognoscit quantitatem totius, et cum obviaverit unae partium ante alteram, et alterae post alteram, minus cognoscit totum, partem vero magisj et cum unaquaeque rerum, quae comprehenduntur, fuerit minor in eo quod de toto apparet ex eis consistentep m^gnitudo utique cum continua fuerit, habebit aliquam dispositionem particulari parvitati pertinentem. Similiter etiam ex diversitate positionis subiectarum re- rum , quae fit secundum magis et minus , accidit prope 39 Wud quod diximus, ut id quod accidit in rebus quae ap- parent a latere maioris magnitudinis , et putantur esse minores, et in his quae apparent cum coloribus splQndi" dioribus se, et putautur esse minus splendidae: quod uti- que flt ex defectu considerationis, cum altera faerit minor altera superante, secundum comprehensionem propriam rebus, quae ab 'aliis superantur» quanda non fit proportio- naliter; hoc enim pertinet omnibus sensibus. Comprehensio enim quandoque minuitur et quandoque augetur per&cte tam in visu quam in odoratu, et in his quae gustantur et in sonu; sentiuntur enim in eodem tempore alia potius quam alia, quae sunt eiusdem generis. Nec decet huiusmodi accidentia tautum segregari ab his, in quibus fallitur yi- sus, Bed. debet etiam fleri hoc per accidentia, quae contin- gunt ex mutatione rerum videndarum, quousque fiant causa apparendi rem aiiter quam se baberent, si visus et mens non essent tunc in aliquo perturbati, neo status eorum mutatus. Nam cum singuli colores non videntur seicundum suam proprietatem, sed fuerint commixti/'nul- lus utique dixerit hoc existere ex deceptione consistente . in visu , aive ex multitudine» sive ex situ eorum factum sit, quoniam imagines colorum non apparent aliae quam fuerant propter casum luminis super eas , sed videntur magis et minus, 3icut nec hac de causa aliquid apparet, super quod non incidit lumen. Luna vero habet proprium colorem, qui apparet in eclipsi sine lumine, et non ap- paret in ceteris temporibus. Haec autem ambiguitas sol- vitur, quiB luna in tempore eciipsis est iu: quadam um- bra, terra eaim, per quam fit tegmen, valde remota est tunc a luna; in aliis vero temporibus luna est in tene- bris.quoniam illud per quod fit tegmen, medietas vi- delicet lunaris sphaerae est continuum illi, qupd inde te- 40 gitur; magis autem cadit de lumiue super rem ezistentenf in umbra , quam super illam , quae est in tenebris. Si- militer etiam non debemus existimare, guod visus deci- pitur, cum mutatur imago colorum modo quolibet, sicut flt in lumine, quod coloratur per quosdam flores vel alias res colorantes, caditque super res videndas. Universa enim, quae apparent colore consimilia ex colore alterius rei ca- dentis super ea» ne putentur aliunde mntari, nisi ex passione quae flt in ipsis rebus videndis de commlxtione, qua ab utrisque flt unus communis habitus in visu, et in habitu ipsius rei, et in sensibilitate ab eis congregata. Subiiciuntur etiam huic speciei res illae, quarum ap- paret idem color , non ex commixtione alterius coloris cum suo, sed ex diversis coloribus qui insunt ei. Viden- tur autem sic propter distantiam aut velocitatem motionis, cum visus in unoquoqtie istorum debilis flat aspicidndi et intelligendi singulas partes. Quoniam si distantia re- rum videndarum quantitatem habuerit, ita ut et angolus, qui totam rem continet, habeat idoneam quantitatemy sin- guli autem anguli, qui continent diversos colores, fderint insensibiles , apparebit ex comprehensione partiumy quae non discemuntur, cum omnium sensibilitas congrega- bitur, quod color totius rei flt unus, alter quam singu- larum partium. Similiter etiam aocidit ex motu vehe- mentis celeritatis, ut motu troci plures colores habentis, quia non moratur unus et idem visibilis radius stiper unum et eundem colorem, quoniam recedit color ab eo propter celeritatem volutionis ; et sic idem radius cadens super omnes colores non potest dividere inter primum et novissimum, nec inter eos qui sunt per diversa loca. Apparent enim omnes colores per totum trocmn in eo- dem tempore quasi unus, et quod sit similis colorif , qui 41 vere fletet e% commixtis coloribus; et propter hoc idem pniicti, gui dunt super trocum, duni nou sunt super ipsum axem, si signati fuerint colore diverso a colore troci, vi- debuntur in volutione vehementi quasi circuli similis coIoHs. Sl lineae autem fuerint super trocum constitutae et per axem transductae , apparebit in volutione tota su- perficies troci similem habere colorein. Color enim cum in eisde^m sensibilibtis temporibus volvitur circa distan- tiam visui sensibilem, putatur tangere omnes locos, per guod vadli; passionem enim, guae flt in pritna volutione, conseguuntur semper repetitiones , guae secundum eam- dem similitudinem flunt postea; et hoc etiam accidit in stellis discurrentibus , guarum lumen videtur longum ptopter celetitatem cursus earum secuttdum guantitatem protensionis sensibilis distantiae cum sensibili passione, ^tUid acddit in visu. nia etiam guae accidunt in magnitudine et flgutis, flunt ptopter haec guae dicta sunt, cum eadem res apparuerit minor, et videbitur habere maiorem rotunditatem exmulta distantiay guoniam circumdantes anguli minnuntur et fiunt patv!. Rursus tes guae similis est disco, cum velo- citer movetur circa aligueifn diametroruin suorum^ apparet illi gui eam aspicit lateraKter, et non a parte diametri, circa guem volvitur, habere flguram ovi, guoniam in omni volutione sua superflcies eius guandogue flt recta supfer visibilem radium cadentem super centrum eius, et 'ddetur circuhis , et gtiandogue erit superflcies ipsa super Krieatri , guae cum producta fuerit, transit per caput visibilis pyramtdis , et apparet inde recta linea. Fit autem per plures vices obligua, et apparet inde esse de diversa longitudine. Cuni ergo cointinuus mxntiis in forma rei exi- ^6ndae lotiga aliis praevaltierit , fit Tmdigoo figura totius 42 rei de diversa longitudine secundum sensibilitatem pro- pter celeritatem volutionis, et sic videtur aspicienti habere formam ovi. Fit etiam fallacia in motibus rerum videndarum sine aliqua deceptione visus, sed hoc subiicitur virtuti discer- nitivae , cum consideratur aliud consimile per praedicta accidentia, secundum illud quod diximus fleri de veloci motione trocorum, qui cum moventur, putatur quod sensi- bilitas non incidit super motum eorum propter brevitatem temporis quo volvuntur; et ut illud quod accidit in rebus quae moventur et videntur a longe ; putantur enim et hae stare propter stationem visibilis radii , quoniam non mur tantur ibi distantiae radiorum sensibiles in tempore brevL Si vero movebimur in aliqua quantitate distantiae non habente sensibilem proportionem ad quantitatem di- stantiae rei videndae , apparebit nobis res videnda moveri nobiscum ad eamdem partem motu aequali in celerifate, quod saepe accidit in Iima et universis corporibiis, quae sunt in coelo, propter splendorem et magnam distantiam eorum, et quia cum movemur et protendimus visus no- stros, et ad huiusmodi rem videndam non suscipimus a visu sensibilem distantiam; proportio enim loci, quo mo- vemur ad distantiam, est ut punctus ad illam. Res autem» quas idem visus comprehendit motas, si moventur cum eo, necesse est, ut cum fuerit transitus earum in distantia sensibili et sensui patentem^ et augmentum quod ex distantia fit, non habeat proportionem , existimentur moveri aequaliter motioni nostrae ad eamdem partem. Similiter etiam de rebus velocitate aequalibus apparent ye- locioreSy illae quae propinquiores sunt visui, quarum enim diametri sunt aequales , subtendunt maiorem angulum. Illae autem quae transeunt distantiam maiorum angulorum 43 in aequalibus temporibus , apparent velociores; quarum enim diametri sunt aeguales, illae quae propinguiores sunt visui, subtendunt maiorem angulum, guamvis habeant mi- norem quantitatem, ut parvae naves et parvae sagittae, quae moventur cum maioribus ; apparent enim veiociores. Gum enim alio modo existimentur res, guae per plures vices in temporibus aegualibus moventur in maioribus locis guam suis, plus moveri guam illae guae moventur in locis, guae suis sunt aegualia, res enim parva mensurat aeguales di- stantias pluribus vicibus, guam magna contingit, guando res magnitudine inaeguales moventur aeguali velocitate in aliguibus distantiis apparent minores moveri pluribus vicibus ; tunc ei^o guia res transit distantiam , super guam visus in temporibus aegualibus cadit per plures vices, guam super illam, guae est similis magnitudinis» videtur velocior. Debent igitur hae dubitationes et eis similes ^ ut di- ximus, poni infra passiones et accidentia naturalia, guae accidunt visibili sensui ; in his enim , per guae veritas discemitur , fit fallacia , guae contingit ex diversitatibus guae flunt de ipsis rebus subiectis. Quorum autem haec non est causa , sed salvis proprietatibus rerum subie- ctarum, flt inde guaedam imaginatio, et sensus non com- prehendit res videndas iuxta rationem et naturam suam, sed est in eis altera passio vel accidens , guo fallacia flat; causa est fallacia ipsius visus, et debemus eam re- ferre praesenti capitulo et inde logui, dividentes prius et dicentes , guod rerum , ex guibus flt fallacia , aliae accidunt visui ex ipsis rebus videndis, et aliae aliunde. Fallacia igitur , guae flt ex re videnda , accidit in colo- ribus guidem ex actu alterius rei praeter rem videndam tantum. In omnibus autem religuis rebus videndis fit ex 44 difBBrentiis specie diversis, quae pertinent ipsis rebus. Haec enim sentiuntur secundum rem sequentem; colores Tero per primam speciem et per se ipsos. Itenmi causa ipsius fal- laciae in his guidem, guae videntur pertinere rei videndae, est guod sensus non incidat super accidentia, quae acci- dunt a speciebus considerationis renmi quae sunt propriae eis, sed incidit super accidentia alterius de rebus, quae existunt secundum rem sequentem. Gausa vero fallaciae in his quae inferuntur passiones praeter rem videndam, est quia non possunt sentiri res subiectae sine sensibilitate corporum , quae eis sunt continuae ; quod non accidit quia actus earum talis est in universis corporibus raris subti- libus, sed quia id quod primo sentit, non debet esse sensibile aliquatenus , quemadmodum quod primo ino- vet, nequaquam esse mobilem, ne imponamus onmibus rebus passionem , et nihil ex eis maneat secundom se ipsum. Res enim quae talis habitudinis esse existimantur, inveniuntur de diversa specie, et sic delebitur primus actus, cum finis in his ducat ad infinitum. Gum igitur iam consideraremus fallaciam visus, et divi- deremus eam in illam quae fit in passione, quam diximujs propriam esse visui, et in illam quae fit in consideratione, exponamus unumquodque semotim in singulis rebus vi- dendis, quae iilas suscipiunt. Sed loquamur prius de his quae fiunt in passione, dicentes quod passionimi quae ac- cidunt visui, aliae sunt coloratio, aliae fractio et aliae re- volutio. IUud enim quod naturale et de consuetudine inest visuiy est incidere eum super res videndas purum exiBten- tem et recte aspicientem, et ordinationem utrorum visibi- liimi conortmi esse consimilem. Goloratio autem est pri- vatio puritatis, fractio autem est privatio videndi rem recte; revolutio vero est privatio similitudinis ordinationis. Unius- 45 cuiuaque autem istorum sunt duae species; colorationis enim alia praecedens et alia subsequens; praecedens qui- dem est quae fit ante rem videndam ; subsequens autem est quae fit post rem videndam. Fractionis autem alia flexio et alia reverberatio. Flexio quidem est fractio, quae fit ad rem resistentem; reverberatio vero est fractio a re resistente. Revolutionis quoque alia praecedens et alia subsequens ; praecedens quidem est coniunctio axium ante rem videndam, subsequens autem est coniunctio axium retro rem videndam. Accidit vero fallaciam fieri ex coloribus per colora^ tionem visui accidentem aliunde. Coloratio quidem prae- cedens fit per se et per utrasque species fractionis ; sub- sequen^ aubem coloratio flt per utrasque species fractionis tantum- Fit igitur praecedens coloratio per se , cum diu tet^nderimus visi^ nostros ad aliquem colorem valde lu- cidum f et postea respexerimus ad aliud ; tunc enim id quod aspicitur ultimum , videtur habere aliquid de co- lore illius , quod primo fuit visum , quoniam splendido- rum colorum percussio in visu diu perseverat cum eo, et ideo postquam talia aspexerimus, non videmus mani- feste nec sine laesione. Fit etiam praecedens ' coloratio , cum aspexerimus aliquid per telas consumptas, subtiles, sanguineas vel purpureas, nam visus transit per tramas telarum sine fractione, et portat secum in transitu ali- quid de colore rerum per quas transit, et sic apparet res illa habere colorem eorum, quae visus penetrat. Prae- cedens quoque coloratio secundum reverberationem flt, cum speculum fuerit stabile, spissum et colorem habens; colores enim rerum quae videntur per reverberationem ex ipsis speculi.s factam , apparent Commixti cum colore speculorum. Goloratio autem praecedens fi( per fletionem, 46 cum res guas Tisns penetrat, non fderint yalde snbtileB, sed fiat ex eis fractio habens guantitatem, nechabuerint omnino colorem remissum nec valde intensum. Si enim habuerint colorem valde intensum, non permittunt co- lores rerum, quae per fractionem videntur, postguam visus illas penetraverit, commisceri cum colore suo, praecedimt enim et colorant visum per virtutem coloris eorum; et cum habuerint colorem remissum , visus non sumit inde colorem. Sed cum mixtio fuerit*moderata, flt inde quae- dam coloratio, et visus suscipit colorem aliunde, velut a nube tenui, quae non est alba nec valde colorata, et cornibus claris , quae visus penetrat, et aquis subtilibus, quae sunt super faciem terrae, et vitreis sectionibus, fru- stis et aliis quae sunt tenui coloris. Videbuntur ergo co- lores rerum videndarum commixti cum colore rei, quam visus penetrat, compositi ex utrisque coloribus. Goloratio vero subsequens flt secundum flexionem quidem, utillud quod accidit in rebus quas visus penetrat, cum suscepe- rint aliquid de coloribus rerum, quae infra sunt, et quae retro eas videntur. Secundum reverberationem autem, sicut flt in speculis, quoniam cum ita fuerint posita, ut loca rerum quae in eis apparent, sint super ipsorum speculorum superficies, putantur habere colorem rei, quam visus comprehendit post reverberationem. Accidit etiam hoc secundum alium modum positionis, cum re- verberatio fit ad angulos valde acutos a superflcie spe- culorum ; locus enim in quo res apparet , est determji- natus, et est ille in quo conveniunt radiuSp qui a visu procedit ad speculum, et perpendicularis quae cadit a re videnda ad speculi superflciem, cum fuerit in eadem su- perflcie , quae est super speculi superflciem ad rectos an- gulos. Cum ergo anguli, qui flunt ez reverberatione penes 47 superflciem speculi , faerint parvi , erit perpendicnlaris parva, et locus quo res apparet, erit prope superflciem speculi. Haec autem et eis convenientia demonstrabuntur per ea, quae postea dicturi sumus cum propriis determi- nationibiis eorum in locis opportunis , ne quaerentibus nobis singula de singulis in universis locis demonstrare, confiisio flat in sermone. Nunc ergo sufflciant nobis haec, et exponamus illud tantum , ad quod tendimus, ut osten- datur fallacia quae accidit visui. Propter causam igitur praedictam cum fuerit ignis aut lumen parum altius ab' horizonte , et prope aspicientes fuerit stagnum aut aqua cotigregata,.si quidem aqua mo- derate movBbitur, apparebit visui, qui asuperficie aquae refringitur ad ignem vel ad iumen, forma luminis in ipsa superflcie aquae longa, et videbitur moveri cum motione aspicientium illam , quousque fiat opposita eis et rei vi- dendae, et idcirco videtur habere lumen, licet non sit ibi lumen , sed apparet tale propter reveri^rationem. Lumen enim rei lucidae est multum et in pluribus par- tibus ; illud autem quod videtur in aqua paucum est , longitiidinem habens tantum. Primi etiam istorum locus positionis non mutatur cum mutatione locorum aspi- cientium illud, sed est in eodem loco omnibus aspicien- tibus eum ex diversis partibus. Secundi vero locus trans- fertur cum translatione aspicientium illud, et cmn plures fuerint aspicientes , unusquisque videbit illud in altero loco, illo videlicet, quo videtur secundum oppositionem: HaiB itaqtie sunt proprietates eorum, quae apparent in his quae secundum se aspiciuntur, quae apparent per formam existentem in alio. Diversitas autem superficiei aquae cum fuerit moderata , contingit inde lumen ap- parere longum et diversom , quoniam cum superficies 48 fuerit lenita et ezquisite aequalis , fit formau rei , guae in ea videtnr, una et similis ipsis rebus in flgura, quo- niam impossibile est tunc reverberationem fleri, nisi in uno loco planae superficiei. Anguli enim flunt aequales, quando reverberatio flt ab uno loco ad alium locum, et cum superflcies fuerit inaequalis et non lenita, possibile est tunc rem videndam apparere in pluribus lods termini, cui communes sunt superflcies quas diximus. Fit ergo exinde longitudo formae rei videndae, quoniam forma erit in locis illis, a quibus flt reverberatio ad rectos an- gulos, qui sunt diversi propter curvas et concavas su- perflcies continuas. Formae autem locus, quae apparet in communibus locis , erit supra superflciem , x%s enim vi- denda erit extra centrum ; unaquaeque autem formarum» quae apparent de rebus existentibus subtus superflciem, videbitur parum ab ea remotior propter declinatiopem visibilis radii ad latus; et cum aqua movebitur vehe- menter , flt forma incisa disgregata propter eminentes partes curvas et concavaSp quae magnae sunt, et bac de causa unaquaeque earum semotim potest videri manifeste, et alterae earum apparebunt sublimiores alteris, et alterae inferiores; sed cum superflcies leviter movebitur^flt forma magis continua propter parvitatem speculorum ad |n- vicem continuorum. Verum cum non apparuerint diver- sitates earum in profundo, videbitur totum iUud quasi res una longa, et tanquam si haberet unam altitudinem in sensu. Manifestum est ergo exhis qu^ diximus» quod si in ortu vel occasu solis , aliquam quantitatem eius mare texerit, tranquiilum quodammodo existens, yidebi- tur super aquam res coptinua cum sole aequalig quan- titatiy quae de eo apparet super aquam; ^t si $^qua mo- dice movetur^ videbitur longior. 49 Fallacia igitur, quae in coloribus accidit visui ex pas- sione ei accidente, Qt ad maius secundum praedictas spe- cies; fallacia vero quae accidit in situ ex fractione et revo- lutione, flt secundom utramgue specierum istarum; per revolutionem enim videtur eadem res in duobus locis, et doae in uno, sicut in praecedentibus demonstravimus. £x rererberatione autem et flexione videtur res in directione visibilis radii, quamvis non ita se habeat, eo quod est fra- ctus, RursuB de his quae tali modo apparent, alia videntur a distantia minori quam vera, quae videlicet est inter ilia et aspicientes, et quae est inter ea et superflciem, de qua fit firactio. Alia vero videntur a distantia aequali praedictae, et quaedam videntur a maiori distantia. Quaedam quoque videntur per quosdam de visibilibus radiis , qui sunt a parte saa, alia vero per radios diversos secundum flguras rerum, quae radios refringunt, ut accidit quando vide- mm^ sinistra per radios dextros, et superiora per infe- riores, et converso ; et hac de causa insulae sublimes vi- dentar a mari esse humiliores , eo quod radii qui infra cadunt in mare, efflciuntur per reverberationem subli-^ miores illis, et aer qui recte comprehenditur a visu, fit altior insulis; quod evidentius apparet, cum fuerit super insulam nubis rubea, apparet enim subtus eam simiiis illi nubis rubea. Similiter etiam possibiie est per rever- berationem -videri eamdem rem in pluribus locis, sicut accidit in concavis^ speculis, et speculis quae plures ima- gines ostendunt; quod faciunt, quia sic sunt disposita, quod quaedam eorum refringunt radips ad rem viden- dam, et quaedam ad aliud. Unde multi radii disgregati ostendunt rem secundum directionem eorum , et apparet numerus locorum rei videndae ut numerus radiorum. In universis itaque rebufi quae videntur, flt fallacia ex 4 50 passionc quae accidit in visu; in ms^nitudinibus quidem et figuris accidit ex- utraque specie fractionis , in motu autem accidit ex revolutione; ex reverberatione quidem et llexione, quae sunt species fractionis, accidit cum specula aut res, quae visus penetrat, non fuerint plana. Fit enim illud ex curvitate et concavitate superflciei, quoniam cum anguli, quos formae rerum subtendunt, fuerint maiores aut minpres angulis continentibus rem, quae vere videtur, et distantia fuerit distantia rei , quae recte videtur, fit inde forma rei maior vel minor, quam vera quantitas ipsius rei. Item particulares radii, qui penes formam rei disgre- gantur, cum fuerint longiores vel breriores radiis, qui cadunt super ipsam rem veram , quae recte apparet inde propter praefatam causam ... figuram formae dissimilis illi, Guius est forma. Hac etiam de causa rectae lineae, quae apparent retro rem quam visus penetrat, cum super- ficies ipsius rei non fuerit plana, apparent non rectae; radius enim fractus tunc non habet ordinem; non ergo cadet super rem vid^ndam a puncto ei opposito, sed a puncto diversae positionis, et sic forma apparet non recta, licet sit recta. Rursus cum fuerit res, quam visus pe- netrat, plana, et illud quod in ea videtur, rectum, pars quoque eiusdem rei videndae fuerit extra, sicut accidit in remiSy fit imaginatio , quod ipsa res sit fracta; ex- terior enim pars videtur in loco suo vere ; 4nterior vero, quae est in corpore, quod visus penatrat, in loco pro- pinquiori superficiei , de qua fit flexio. Non ergo appare- bunt praedictae utraeque partes rei videndae rectae con- tinue, sed res videbitur fracta. Particularis autem continua revolutio visibilis radii o- stendit rem videndam , tamquam si moveretur, sed huius- modi vacillatio fortc fit in principio visus, ut accidit in 5t scotoma et tenebrosltate, quae ascendit ad oculum; casus enim radii super rem videndam sequitur motum principii visus amoti a directione, et sensus non comprehendit huius- modi motionem. Existimatur ergo quod visus, qui incidit super unam rem post alteram, moveatur. Forsan autem hoc accidens fit ex continuatione cum rebus, quas visus pene- trat, nt accidit in eo quod videtur in aquis quae moventur; videtur enim moveri cum motu aquae, eo quod cum super- flcies aquae movetur, efficiuntur ei diversa loca; et sic facit illud per quod res videnda aspicitur, plures radii visibiles, et apparet res videnda in pluribus locis, et vi- detur moveri. Haec itaque sunt ea quae determinavimus de specie- bus fallaciae, quae ^t ex passionibus visui accidentibus ab universis rebus videndis. Debent ergo his succedere ea f- quae accidunt in positione , fallacia enim , quae in coloribus accidit, ex passione visus flt tantum. Apparent autem quae diximus in positione et universis rebus vi- dendis modo duplici ad plus: aut enim hoc flt ex co- loribus diversitati subiectarum rerum contingentibus, in quibus fallitur sensus, cum privatur a propria considera- tione sua, et vertitur ad comprehendendam rem per pri- mam passionem suam; aut flt per ipsam ordinationem visibilium radiorum , cum id quod discernitur de rebus videndis, non consideratur secundum quod decet in di- versitatibus , sed flt aliter faciliori modo. Rerum enim, quae in uno loco sunt, illae quae habent maiorem splen- dorem, apparent propinquiores. In his autem fallaciae causa videndi rem occultam non est ex longitudine radii , cum multa fuerit distantia, sed ex diversitate colorum. Iterum rei lucidae, ut solis et lunae, loca existimantur esse propinquiora ; res autem habenles occultam claritalem 52 videntur remotiores, guamvis fuerint propinquae, etideo pictores domorum constituunt colores rerum, quas re- motas volunt ostendere, aereos latentes. Rursus cum a locis sublimibus ad aliquam partem aspezerimus non respicientes inferius, putamus quod terra, quae valde a nobis est remota, sit subtus nos posita. Fallacia igitur accidit in hoc, quia illud per quod deberet id discemi, est longitudo radiorum; tunc autem sensus incidit super locum, quo ipsa terra est, et non agit hoc, sed quia res apparuit per visibilium radiorum inferiorem, aut per ra- dium simili modo obliquum, et ea quae per huiusmodi radios videntur , solent ex consuetudine apparere qnod sint sub pedibus, et raro accidit visui esse in Bublimi loco» putatur res subtus esse posita. Fit etiam eadem fallacia in magnitudine secundnm utrumque praedictorum modorum, ut acddit quando res subtendunt aequales angulos, et fuerint in distantiis ae* qualibus; illa enim, quae minorem habet colorem» videtor maior. Si distantiae vero fuerint inaequales, remotior ap- paret maior quam apparebat in aequali distantia, se- cundum quod a distantia ei contingit. Verum acddit ei huiusmodi fallacia, quum vice ratiocinandi haec per quan- titatem angulorum, utitur ibi ratiocinatione per id, super quod incidit sensibilitas de augmento longitudinis vlsi- bilis radii, quo res, quarum quantitates magnitudinum sunt aequales, cum elongantur apparent minores. Necesse est ei^o hinc, ut rerum quae causa angulorum debent esse aequales, illae quarum distantia maior est, appa- reant maiores. Contingit etiam simiiiter ex diversitatibus colorum ; res enim cuius color est magis occultus j ap- paret remotior, et ideo statim cxistimatur esse maior, sicut accidit in rebus , quae vere tales sunt , videlicet 53 quae apparent per angulos aequales , cum quarumdam earum distantiae fuerint maiores. Accidit etiira simili modo fallacia in figuris» quando non discemitur et cognoscitur flgura rei ex ligura visibilis radii, cum incidit super rem videndam, sed fit ex aliquo praedictorum accidentium. Apparent enim superficies pro- pter impositos colores quandoque curvae et quandoque concavae, et ideo pictor cum voluerit ostendere has duas flguras per colores, ponit colorem illius partis, quam vult eminentem videri, lucidum; colorem vero illius, quam vult concavam videri, magis latentem et oscuriorem; et piopter hoc putamus velum concavum esse curvum , cum aspexerimus illud a longe, cuius causa est, non quia ventuB tale illud disponit, ut cum eo perveniat ad con- cavum locum veli lumen solis et visibilis radius, sed quia cadunt super medium veli recti radii , et sic lucescit. In extremis autem partibus et circumferentiis eius aut onmino nullus cadit radius, aut parum inde cadit obli- quum, iiuo apparet obscurum. Inde ergo circumferentiae videntur concavae et medium veli eminens^ quod est simile rei, quae vere est curva. In his autem quae visus penetrat, ut vitrum ab altero laterum suorum sculptum, cum aspe- xerimus iUud a latere non sculpto» apparebit nobis ipsa superflcies non plana, et quod inde est super locum concavitatis sculpturae, apparebit curvum, et quod super curvum ex alio latere sculpto, apparebit concavum. Tunc enim sensus non ratiocinatur de flgura primae superflciei, obviantis illi, per flguram terminorum visibilium radio- rum, qui cadunt super eam, sed per suam flguram, quae flt ipsi visui in exitu suo a re quam penetrat. Cum enim visibilis radius exierit a concava sculptura, erit flgura • eius concava, et cum exierit a loco sculpturae curvae, flgura 54 cius crit curva. Scd quia scnsus visiLilis ratiocinatur de figuris huiusmodi rerum, quod sint diversae a sua flgura, ratiocinatur enim concavum per curvitateni figurae basis radiorum suorum , et quod res sit curva per concavitatem basis radiorum ; similiter otiam ratiocinatur et in his. Gum enim basis visibilium radiorum cadentium super locum concavum a latere* sculpto rei, quam visus pe- netrat, fuerit concava, ratiocinatur ipsas res esse curvas, de loco autem curvo ratiocinatur quod sit eoncavus, quando basis visibilium radiorum fit ibi curva. Accidit etiam in motu de speciebus imaginum quoddam simile, quod possibile est nobis dignoscere ex his quae ex- posuimus, videlicet quod res quae non moventur velociter, cum velociter evanuerint a visu, arbitratur aspiciens illas esse veloces in motu, utpote ignis qui currit modico tem- pore, et ut favillae ignis, et illa quae moventur in forami- nibus et locis angustis. Hoc autem accidit, quia sensus non ratiocinatur tunc quantitatem mutationis radii per tempus quo illud accidit , sed per id quod apparet et digaoscitur per colorem. Cum enim in parvo sensibilium temporum | res aliqua transierit totam latitudinem visibilis pyramidis, apparet in motu velox, et absconditur penes terminum • latitudinis ; sed si acciderit in rebus quae moventur, ali- quam earum corrumpi vel abscondi ex alia causa guam ista, veluti si corrumperetur antequam extinguatur, aut absconderetur antequam visus ex utrisque lateribus te- geretur, putantur esse veloces in motu, quoniam sensns non cadit tunc super velocitatem, nisi ex velocitate te- ctionis et absconsionis rei. Rursus cum fuerit fluvius quiescens sine undis fluens vehementer, et fuerit in eo navis stans, ille qui de existentibus in navi non aspicit in terram, quae extra est, putat navem ascendere vehementi 55 cursu, et quod aqua non moveatur, quoniam motus aquae, super quam visibilis radius cadit ad diversam partem quam illam, ad quam putatur navis moveri, apparet ex diversitate quae est inter colorem navis et colorem aquae. Diversitas autem , quae fit ex motu partium superficiei aqoae solo non patet sensui propter similitudinem par- tium superflciei et similitudinem coloris eius; propter motionem vero radii visibilis super partes superficiei rei videndae , oportet alterum eorum videri quod mo- vetur, sive aqua sive navis. Gum ergo videbitur aqua quasi quiescens , debet apparere motus a navi ; cum autem aspexerimus ad aqiiam et terram et navem in simul , et posuerimus in animo nostro quod terra sit quiescens , videbimus navem quiescentem , cum navis aspicitur per ipsos radios , quibus et terram , et videbi- mu8 aquam moveri , cum cognoverimus navem et terram quiescentes. Item si ambulaxerimus in navi prope litus in tempore tenebroso , vel in alio quam in navi , et non perceperimus motionem rei portantis nos , putamus ar- bores et res in terra eminentes moveri ; quoniam ciim visibilis radius transfertur, ratiocinatur quod res visibiles transferuntur propter translationem visibilis radii. Res autem visibiles cum fuerint stabiles, putatur quod m^tus, qui apparet, sit in eis. Putatur etiam quod imago faciei depictae in tabulis respiciat parum in aspicientes illam sine motu ipsius imaginis , quoniani vera respectio non dignoscitur nisi per stabilitatem formae eiusdem visibilis radii, qui cadit super depictam faciem. Visibilis ei^o sensus non novit hoc, sed respectio fit ad locum radii, qui est propinquus axi tantum, quoniam ipsae partes faciei aspiciuhtur per radios visus, qui sunt ordine consimiles. Gum ergo aspiciens elongabitur, putat quod imago re- spiciat eum, eo respicienle. 5G Sciendum autem est, quoJ in omnibus imaginationibus, quae fiunt ex ratiocinatione habita de sensu et considera- tione eius, (lunt in una et eadem re plura de accidentiis quae videntur; illa vero quae non iudicantur per se, fa- ciunt in his quae iudicantur, imaginationem falsam, qup- niam non estnecessariumyUtiste modus comprehensionis, qui ita fit, semper fiat in speciebus fallaciae, quas dividimus in singulis rebus, sed flat cum comprehensio rerum ratio- cinandarum non fuerit manifesta, sed obtinetur per diffe- rentias rerum non ratiocinandarum nec convenientium eis, sicut accidit in differentiis habituum visus» per quos iudicatur de situ aut motu aut magnitudine aut flgura , cum sensibiliter per se non comprehendantur, e% ea per quae iudicatur de coloribus ipsarum rerum fuerint maiii- festiora. Si vero videbuntur a propinquo loco, et subiectae res habuerint aequales distantias et aequalia corpora, vi- 8U8 non arbitratur quod lucidiora sint propinquiora aut minora, nec etiam putat de quibusdam planis quae sint eminentia, et de quibusdam quae sint concava ex diversi- tatibus colorum, nec putat de aqua fluente, quae non habet undas, quod sit stabilis, nec de facie imaginis quod re* spiciat eum, respiciente illam. Huius igitur causa est» quod visus, per passionem, quae ei est propria, potest cognoscere diversitafes colorum a maiori distantia, sed diversitates reliquarum rerum quae videntur, quia cognoscuntur per accidentia, quae passioni accidunt, cognoscuntur cum prope fuerint et non quomodocumque, quoniam in \ma- quaque earum convenit accidens, quod fit in basi radio- rum cum magnitudine longitudinis, quae est distanUa. Iste autem conventus, cum non fuerit moderatus in sensu, facit comprehensionem considerationis imperfectanL Senr sus ergo cum non poterit vide?e subiectam rem eo modo 57 * qui ei convenit, cognoscit eam per manifestationem ce-* terarum diversitatum; et sic quandoque apparet ei res vere, et quandoque imaginatio falsa; imaginatio quidem falsa, sicut iUa quae accidit de fallacia in praedictis rebus, ima- ginatio autem vera ut ex re magis obliqua et parva; na- turaliter enim debet esse in propinquiori loco, et cum resbene sentitur causa propinquitatis , et visus incidit super eam ex ea parte quae ei propria esi, consideratio non fallitur in aspectu secundum hanc speciem. Omnes etiam diversitates rerum , quae per angulos dignoscuntur, erunt manifestae nihilo minus quam..4iEianifestatione aliorum. Debemus autem intimare nunc » quod omnia quae di- ximus de fallacia » similia sunt falladlae ipsius visus , et imaginationis quae accidit in eo; et quia falluntur in plu- ribus rebus, eo quod sensus inddit super res videndaB secundum consuetudinem suam et naturam, mens autem in coniinua cum rebus comprehensione sua existimat eas extra ordinem; debemus dicere hoc iterum esse fal- laciam ratiocinationis mentis, sicut accidit in positione, cum aspexerimus in speculis planis, et facies rei videndae iuerit opposita faciei speculi. Tunc enim ostendit nobis visus partes nostras, secundum quod inest ei a natura ostendendi res, quae vere videntur, videlicet res, quae per dextros radios videntur, apparere dextras, et quae per si* nistros, sinistras; mens vero ostendit nobis dextra sinistra, et sinistra dextra; res enim, quarum facies vere oppo- sitae sunt , talem habent positionem , quod faciunt dextra alterius opposita sinistris alterius, et sinistra opposita dextris; et hac de causa cum moverimus quamlibet ma- nuum nostrarum semotim , ostendit nobis visus , quod manus quae movetur, est opposita ei; mens autem ostendit nobis eam e converso. Fit etiam fallacia in ratiocinatione 58 de (listaDtiis et quantitate, sicut ilt cum in die aspicimus in aere quo sumus. Gum enim idem aer sit spissior et magis coloratus quam superior propter locum multae exha- lationis, quae ascendit a terra et aquis, aptior flt ad pro- vehendum lumen intra eum et penetrari a visu; putamus ergo videre coelum sicut colorem communem exhalationi- bus et coelo. Universaliter quoque in omnibuB rebus exten- sis, tenuis, humidis, quae sunt remotiores ab aere in quo sumus, propter validam subtilitatem earum onmino debili- tatur nisus videndi eas, quamvis lumen non prohibeat comprehensionem earui% sicut accidit cum visus fuerit in tenebroso loco et aspexerit stelias, et non videt rem circa eas extensam, quamvis cadat super eam lumen. Sed cimi fuerit visus in loco lucido, non videt stellas, quoniam lumen quod est inter eas et visum, ducit pro- tensionem visus ad debilitatem. £t quoniam aer , qui in die apparet, putatur esse remotior omnibus rebus, eum nihil aliud appareat sublimius eo ; sol autem et luna putantur esse prdpinqui propter claritatem, sed mens vi- dens coeliun, qubd sit sublimius aliis lods, ratiodnatur ratiocinationem falsam, et putat rem visui apparentem esse veram, et illam esse quam ipsa cognosdt, et putat quod sesy quae novissima ei videtur, maior 9it illa, quae naturaliter et vere remotior est et maior aliis. Accidit etiam in flguris simile huic, videlicet fabricarum, quarnm parietes habent aequidistantia latera, et liminimi ianu^- rum, quae sublimia sunt, superiores partes videntur am- pliores (sic); quod accidit ex imaginatione, quae flt sensui, quamvis superiora illorum non habeant maiorem stricti- tatem et propinquitatem quam inferiora. Hoc enim con* sueverunt homines facere , ut positio sit bene disposita et firma. Mens ergo, quia apparet ei iuxta consuetudinem 59 quod sint ampliora (sic), quamvis sint e converso, putat iila vere talia esse, quoniam mens existimat de his, quae taliter constituuntur, quod habeant aequidistantia latera; nam cum haec fuerint recte erecta, sunt super horizontem ad rectos angulos. Res autem quae sunt erectae super ho- rizontem ad rectos angulos, sunt aequidistantes, sed cum non ita se habuerint , ut illae quae non habent aequi^ distantia latera, mens putat quod unum de duobus op- positis lateribus sit maius quam est. Fit etiam in motio- nibus falsa opinio , sicut accidit in curribus etiuorum , qaando motus eorum non fuerit velox; sensus enim non cadit super partes eorum, sed cadit super equos et rotas simul. NoS' autem putamus, cum illas aspexerimus, quod equi velociter vadant, et quia in huiusmodi rebus, quae tranfieunt aequales distantias, accidit hoc lieri in tempo- ribus aequalibus , et illud sit commune equis et rotis ; ex rotis^ autem propter parvitatem quantitatis earum fiunt plures repetitiones in volutionibus , quae sunt motus ea- rnm» et est velox et continuus, mens rattocinatur inter motum et volutiones de aequalitate , generali ratiocina- tione, et putat quod transitus equorum sit velox. Hic est ergo finis eorum quae diximus in praesenti ser- mone de deceptionibus et rebus , in quibus fallitur visus. 090 GO SERHO TEBTIUS De Opticii Tholamaei. Res quidem quae videntur , et qualiter unaquaeque ea- rum videtur, et quot modis fit fallacia visus in dignoscenda veritate rerum videndarum , explicavimus in secundo ser- mone huius libri. De rebus autem, in quibus accidit error et dubitatio , quia ostendimus quod quaedam sunt, quae recte videntur, et breviter et sufficienter iilas explica- vimus; quaedam autem accidunt secundum fractionem vi- sibilis radii, et illud in maiori parte notavimus; tantum debemus hoc persequi per demonstrationes, quibus sdentia eorum utique consumetur , et ponere iUud in unaquaque duarum specierum huiusmodi imaginationis. Quia igitur altera earum est secundum penetrationem visibilis radii in rebus aliquantum refringentibus eum, et fit inde reflexio , quod vocavimus communi nomine penetrationem radii; altera vero species est in rebus prohi- bentibus penetrationem , unde fit reverberatio radii exi- stens ab ipsis rebus prohibentibus penetrationem, et con- suevimus illas nominare specula, decet nos primo incipere loqui de altera istarum duarum specierum, secunda vide- licet, et dicere de figuris, quae fiunt in superflcie speculo- rum, plani videlicet et sphaerici, id est curvi et concavi, et de eo quod apparet ex compositione istarum figurarum. Gum ergo in omnibus rebus, quarum scientia quaeritur» aliquibus principiis universalibus indigetur, videlicet ut praeponantur res sive in effectu sive in consistentia certae et indubitabiles, ex quibus sequentes demonstrationes su- mantur; debemus dicere, quod principia quibus indigetur 61 in scientia speculorum, praecipue sunt tria; et sunt primae scientiae possibiles per se cognosci, quorum unum est quo dignoscitur, quod res quae videntur in speculis, appa- rent secundum directionem visibilis radii , qui cadit super eas per reverberationem suam, quae flt secundum posi- tionem pupillae a speculo. Secundum vero est quo digno- scitur, quod singula quae in speculis videntur, apparent super perpendicularem, quae cadit a re videnda super spe- culi superflciem et penetrat. Tertium autem quo cogno- scitur, quod talis est positio fracti radii, qui est inter pupillam et speculum , et inter speculum et rem videndam, quod unusquisque istorum duorum pervenit ad punctum de quo flt fractib» et continent cum perpendiculari, quae ab ipso puncto procedit de speculo , aequales angulos. Vocatur autem perpendicularis in superflcie sphaerae com- muni nomine linea, quae circumfertur cum omnibus li- neis , quae tangunt sphaeram exeuntes a puncto com- muni , qui est in superflcie sphaerae ad rectos angulos. Unde necesse est , ut omnes perpendiculares cadentes su- per sphaerarum superflciem, cum penetraverint, transeant per centrum sphaerae. Hanifesta autem erunt ea, quae de principiis praepo- sitis, per ea quae apparent, sicut exponemus. In omnibus eniiQ speculis invenimus, quod si in superflcie uniuscuius- que eorum signaverimus punctos in locis, quibus apparent res videndae, et texerimus eos, non utique apparebit tunc forma rei videndae. Postea vero cum unum post alium de- texerimus , et aspexerimus ad loca detecta , apparebunt puncti signati et forma rei videndae in simul secundum dt- rectionem principii visibilis radii. Et si erexerimus in su- perflciebus speculorum ad rectos angulos aliquas res di- rectas Jongas, et distantia fuerit moderata, fonnae illarum 62 apparebunt super unam liDeam rectam, ipsae et res quae extra videntur vere. £x his utrisque res videnda debet ap- parere in speculo in loco puncti, quo iunguntur visibilis radius et perpendicularis , quae cadit a re videnda super speculum; situm quoque praedictarum linearum esse in eadem superficie, cum altera alteri obviet, et ipsam super- flciem ad rectos angulos , quoniam altera earum est per- pendicularis super speculi superficiem, et visibilem radium, cum ad rem videndam* refractus fuerit, esse in ipsa super- flcie quam diximus, et perpendicularem, quae procedit a puncto reverberationis super speculi superficiem» esse di- stinctionem communem onmibus superflciebus diversiB, quae flunt penes reverberationem visibiiium radioram. Fit etiam simili modo, cum fuerit situs oculorom sic con- stitutus, ut alter videat alterum in eodem tempore » quod fit cum ex utrisque in simul visus cbciderit super unum et eundem punctum de illis, qui sunt in speculo. Quod si ita non fit, accidit nullum eorum videre alterum, et hoc significat quod radii visus refracti sint ad invicem. Ez his quoque patet, quod reverberatio flt ad rectos ang^os; angulus enim erit unus et idem propter casum alterius dttorum radiorum super speculum, et reverberationem alterius radii a speculo. Si vero posuerimus illos esse inaequales in utraque parte, necesse est fleri ab altero oculorum radium obviante superficiei speculi angulum maiorem illo, qui fit ex radio post reverberationem eius a speculo, in altero autem oculo fleri e coHverso, vide- licet ut angulus radii post reverberationem flt maior angulo alterius radii, qui cadit super speculum. Hoc autem manifestius erit et visui patebit , certum- que ostendetur inde quod diximus per hoc experimen- tum. Gonstituafur planca rotunda ut haec {fig. 15), cuius • 63 centruin sit a , sitquc aerea , moderatd,e guantitatis , et sint utraegue super&cies eius coaequatae, guanto magis diligenter coaeguari possunt, sintgue extremitates cir- cumferentiae eius rotundae , lenitae , et protrahatur in altera superficie eius parvus circulus super centrum a, et bU bgde, et protrahantur in ea.duo diametri secantes se invicem ad rectos angulos, et sint bd, ge, ei dividatur unaguaegue guarta pars circuli per nonaginta partes, et sumantur duo puncti bd tamguam centri, et protrahantur I^r distantias ba, da duae sectiones duorum circulorum, super guas sint zah, tak, et constituantur tres regulae. ferreae subtiles parvae quadratae rectae , guarum una ma- neat recta , et leniatur unum ex lateribus suis, ita ut appa- reat tamguam speculum clarum, et curventur religuae duae regulae , ita ut curva superQcies unius et concava superil- cies alterius sint super seciionem circuli aegualis circulo bgde; et leniantur duae superflcies istarum regularum, ut liant tamguam duo specula. Capiamus autem de una- guague duarum regularum.gualescumgue circumferentias, et sint zah, tak, et copulentur ba cum colore albo, et ai cum colore alio, et erigatur super al dioptra parva, et sit praedicta planca ita disposita, ut ipsa dioptra faciliter transeat per punctum l et lineam al, ei ponatur praedicta planca super latera superficierum , in guibus sunt specula, et guod ex ipsis speculis est plauum, sit super gae, et guod curvum sit super zah, et guod concavum sit super tak, et ponatur in medio sublimioris lateris uniuscuius- gue speculorum axis eminens ad conservandam positio- nem eius super ipsum punctum a. Si ergo posuerimus alterum oculorum super dioptram in puncto l, qui sit super al, ci aspexerimus ad locum axis speculorum, et vol- verimus super plancae superficiem rcm parvam coloratam, 64 et movebimus eam quousque apparebit nobis a puncto a, quod sit opposita visui , tunc apparebunt nobis punctus / et punctus a, et forma quae in tribus speculis videtur super unam lineam. Si ergo signaverimus locum, quo res inventa fuerit, in superfLcie plancae» videlicet de quo ap- paret forma rei in ipsis speculis, ut illa quae est ad pun- ctum m, et protraxerimus lineam rectam am, inveniemus circumferentiam bm semper aequalem circumferentiae.b/, quod cum ita fLt, erit angulus lab sicut angulus mab, et linea bd erit perpendicularis super omnia ista specula. .Linea quoque al est locus radii a visu' cadentis super speculi superfLciem; linea autem am est locus refracti radii a superflcie speculi ad rem videndam. Rursus si posuerimus super b aliquid modice longum, et posue- rimus visum in loco qui est super caput ab, apparebit totum super imam lineam rectam, quae est ad. Principia igitur quae posuimus , apparent per ea quae exposuimus ; quod autem ratiocinatio in his sequitur na- turam sensuum, non est difficile dignoscendum. Gum enim visibilis radii consuetudo et natura sit recte procedere a principio suo iu universis rebus , quae recte videntur ; reverberatio autem quae procedit ex speculis» non assi- milatur visui, debet sensus declinare ad naturalem actum, qui de consuetudine sua est, et congregare radium frar ctum cum primo radio posito ante reverberationem , et sic arbitrari illum esse directuin , tanquam si non acci- deret ei aliquod accidens , sed esset rectus. Videbitur ergo forma rei tamquam res quae videtur sine obstaculo. Causa vero qua visoi non manifestatur reverberatio radii, est quia nequaquam sentit illam solam sine obviatione re- rum, ex quibus fiunt huiusmodi formae. Gasus enim radio- rum super specula ita flt, quod singuli eorum cadunt super 65 singulos punctos speculi. Locus autem obvians ei, nihil comprehendit de longitudine laterum, quae continent an- gulum reverberationis. Erit ergo hic angulus insensibilis necessario, cum in aliquo non obviat radio qui cadit super speculum. Erit igitur et angulus, qui inde ilt insensibilis, et quia partes radiorum solae remanent super faciem ipsius speculiy cum facilis sit scientia habitns eius, rursus co- gnoscitur inde locus, quem de speculo comprehendunt hi radii; et quoniam procedunt a visu perpendiculares super speculum» forma erit secundum proportionem rei consti- tutae ab aspectu qui recte fit; unumquodque enim istorum videtur super perpendicularem cadentem super pupillam. Radii enim qui transeunt per aspicientem, etprotenduntur ad pupillam a principio, cuius positio est intus super cen- trum figurae sphaerioae, fiunt omnes perpendiculares super pupillae superficiem, quae suscipit naturam curvispeculi cum figura et lenitate sua; et hac de causa apti sumus suscipiendi formas rerum, sicut visus suscipiunt, qui ad invicem sunt oppositi. Quoniam cum reverberatio , quae deberet fieri a rebus videndis ad pupillas secundum di- rectionem et oppositionem translata sit ad specula, con- servat situm qui fieret a pupiUis in ipsis rebus, et erit hic obviatio lineae, quae a visu procedit cum eodem radio. qui est iBi inter pupillam et rem videndam ; sicut accidit in rebus, quae apparent ad invicem oppositae, cum ceci- derit visus super speculum ad rectos angulos , et refrin- gitur in se ipsum. Erit enim nutus illius, a quo fit appa- ritio rei, unus in numero et situ, qui situs est ille, per quem fit directus super speculum et pupillam ad rectos angulos, et erit inde aspectus rei duplex et diversus in proportione et virtute , alter quidem a visu ad rem quae apparet, alter vero a re quae apparet ad visum. 5 66 Rursus f sicut iam consideravimus , necesse fore Qt id guod est super caput visus, terminatum sit , et unam ba- ' beat ordinationem et constitutionem, videlicet ut sit super caput principii visus, ita etiam constitutio aspectus rerum videndarum debet esse secundum unam et eamdem partem, quae habeat terminatum situm, qui est situs speculorum, et fit super perpendicularem. Est enim undique uni rei una et eadem perpendicularis. IUud autem quod praeter hanc quomodocumque ab eo declinat, suscipit multas diversitates ; et quia huiusmodi res sine illis nequaquam consistunt, res utique simul debent constitutionem habere in superficie, quae fit de radio refracto, quoniam et eae observant situm erectum super speculorum superficies ad rectos angulos. Hic enim linea quae ante reverberationem &i, non cadit aliter quam linea quae fit post reverbera- tionem: circulorum enim qui constituuntur super specula circa centros vel axes, sectiones quae fiunt super capita angulorum penes refractionem existentium, et 8unt com* munia superficiei quae per eos transit, habent unam spe- ciem constitutionis in universis subiectis figuris et super diametrum, existente superficie erecta super speculorum superficies ad rectos angulos. Ille autem situs, qui diverso modo in his fit, terminatus existit, qui est super diameirum. Hinc ergo de facili apparet proportio aequalitatis angu- lorum, quae fit ex reverberatione, et quod sit secundum naturalem cursum , quoniam res quae emittuntur, vix pro- hibentur a rebus tangentibus illas tantum, sed prohibentur multum a rebus resistentibus penes lineam motionis;et ideo cum aliquid prohibuerit has res contraria et forti obstantia, secat lineam longiorem et adversatur ei, illi vi- delicet^quae protenditur ad principium, quemadmodum pa- rietes prohibent sphaeras quae cadunt super eas ad reclos 67 angulos. Illae vero nuUatenus prohibent, quemadmodum manubria arcuum non prohibent sagittas. Intelligendum est etiam iuxta hunc modum de universis rebus quao moventur, et cognoscendum est quod ita flunt. Oportet aut^m ut opus ipsius visibilis radii sequatur hanc ra- tionem, et unusquisque radiorum, qui appropinquat spc- culo et qui elongatur ab eo, debeat conservare situm qui fit in statione perfecta, videlicet ut angulus qui flt ex li- ' nea procedente ad sectionem contrariani perfectam cum linea quae venit ad particularem, sit idem illi qui recedit . ab ed sine sectione contraria perfecta, cum ea quae pra- cedit a particulari. Si de linea ergo quae cadit prope sta- tionem perfectam, et illa quae longe cadit ab ea, ex ulris- qvLQ fuerit untis et idem situs , qui videlicet est erectus super speculum ad rectos angulos, necesse estutex illis, quorum constituUo situs his subiacet cum linea quae ap- propinquat stationi particulari et quae ab ea elongatur, fiant aequales anguli. Proponendum est autem et prius dicendum, quod situs, qui super loca formarum fuerint , indigent particulari conditione , videlicet ut situs conveniat cum distantia. Haec autem in apparitione quae flt secundum directionem et oppositionem, multoties non discernuntur penes radios, et boc secundum moderationem eorum in distantia, sicut ex consuetudine accidit in rebus, quae quandoque sunt ad invicem disgregatae etremotae ab aspicientibus, et apparent propinquae et congregatae propter debilitatem sensus.ex- quisite discernendi remotas res. Attrahit autem eas debilitas nutus ad consuetam visui apparitionem, quae flt de rebus propinquis existentibus coram ipso, quoniam in huiusmodi rebus maiorem habet eflicaciam, et partim utitur illa con- suetudine in remolis. Hic quidem defectus, qui visui ac- 68 cidit, valde fit magnus in actibus qui sunt penes rever- berationem. Sequitur autem hoc, ut omnis incubitus, qui &t ab omnibus rebus quae moventur, fit debilior, cum non fuerit secundum proprium principium eius, sed alio modo acciderity illo videlicet, qui primo prohibuit coniunctio- nem eius cum rebus subiectis. Apparebunt etiam haec in- visibilibus radiis, cum positio speculorum et rerum, quae penes ea videntur , ita constituantur , ut pars radiorum cadat super res quae apparent sine reverberatione; radii autem qui a speculis sunt, sintrefracti, et utrumquein simul fiat in eodem tempore. Tunc enim eum tota forma fuerit congregata et propinqua in positione, accidit formas rerum quae recte videntur, esse multo magis occultas et minus manifestas. Cum igitur minutio deb^at esse consi- milis in universis rebus et in distantiis formae quae appa- ret, oportet inesse eis aliquid de coniunctione, cum fuerint diversae quantitatis. In forma quidem communi omnibus speculis fit ex praedicta debilitate, quae ezistit ab ip^a re- verberatione; in forma autem quae est in concavo speculo, fit ex qualitate reverberationis, et hoc fitmaxime duobus modis; altero quidem quo fit consistentia formae maior quam vera, et fit forma moderata et magis congregata^ eo quod cum perpendicularis super illam fuerit posita, non accidit totam formam esse secundum directionem verae rei , quoniam quae in coniunctione remotiora sunt, constituunt aliquam reversionem in situ visibilis radii. Altero vero modo fit, quia quandoque quidem accidit, quandoque vero nusquam contingit, ut praedictae lineae iungantur, linea videlicet quae a visu procedit ad speculum, et perpendicularis quae cadit a re videnda super speculum, non utique illa, quae est ante visum, sed quae super ipsum visum est aut retro visum; locus enim formae in huius- 69 modi situ non erit manifestus, coniunctio autem illius, quod debet fieri de casu reverberationis in secundo modo, erit propinqua, cum non apparuerit obstaculum ad ipsam formam. Et iterum quando locus non apparet cum illa, attrahitur sensus ad transitum, qui est inter superflciem speculiy a quo flt reverberatio , et visum. Quapropter debemus investigare vias , quae ducunt in huiusmodi rebus ad locum formae , qui est in distantia moderata et bene directa, et debemus considerare si res quae ibl apparet, semper concordat praeposito principio, et invenitur in reverberationibus et in his quae recte ap- parent; et debemus uti distinctionibus multo prius de loco formaOy cuius constilutionem diximus fieri penes praedi- ctam coniunctionem, et quod hoc sit certum in locis , in quibus fit tantum , et in quibus apparet. Multoties enim accidit hanc formam/ quae secundum directionem flt, non apparere in locis, in quibus apparet vera magnitudo. \ NuBC ergo debemus considerare de dubitationibus, qua- rum contemplationem praetermisimus in secundo ser- moue praesentis libri , de his videlicet, quae accidunt in locis, quibus apparent res videndae, quod convenit per- pendi ex eo , quod una res forte apparebit in duobus locis et duae in uno, aspicientibus eas cum utrisque oculis quolibet modo. Dicamus ergo prius de coniunctione ista, qua utrarum pyramidum capita sint puncti a, h {fig. i6), et copuletur linea a&, et per medium dividatm* super punctum g, et producatur ab eo perpendicularis erecta super ab a.i re- ctos angulos, et sit ^c^, et coniungantur axes ad,bd super punctum d, et res videnda sit posita in d. Videbitur ergo haec res una, et in ipso loco quo est. Similiter etiam si a puncto d protraxerimus lineam erectam super gd Bii re- 70 clos angiilos, quae est edz, appavebit luiaquaeque rerum positaruni supcr hanc lineam, cuni sit super caput pun- cti d, una in loco quo est. Gum autem producta fuerit linea htk aequidistans lineae edz et fuerint duo axes op- positi puncto d, res quae est super punctum t, videbitur in duobus locis, qui sunt h, k, Duae autem magnitudines positae in his duobus locis , videbuntur in tribus locis , qui sunt puncti tlm. In puncto quidem t apparebunt utraeque insimul tamquam si essent una res; videbuntur autem disgregatae, h quidem super punctum l,k vero super punctum m, et videbitur unaquaeque de It, ei de tm, ae- qualis hk; et si posuerimus utrosque axes oppositos pun^ cto tf videbimus tunc d super punctos e, i. Et quod numeri istorum apparent ut diximus, possibile est illi perpendere, qui experietur hoc, per regulam, super quam fuerint duo cylindri. Qui vero voluerit vere cognoscere loca eorum, dignoscet ea per positionem digiti super rem videndam. Digitus enim cadit super rem subiectam, cum apparuerit in loco sibi proprio, et cum non fuerit iu loco sibi proprio, non cadit super eam digitus, sed recedit nihil ibi inveniens. Gausam quidem diversitatis quam pro- posueramus, exposuimus in illo loco, et demonstravimus pluribus modis, videlicet cum opinabamur de rebus, quae cum utrisque oculis videntur insimul. Illae quidem, quae aspiciuntur per radios ordine con- similes, etsi fuerint duo, videntur quasi in uno loco; si vero non aspiciuntur per radios ordine consimiles, etsi fuerit Una, videtur quasi in duobus locis. Qua de causa si in ista flgura {fig, 17) copulaverimus lineas a^, az, be, hz, ttty tb, bh, ak, unaquaeque de, dz apparebit in uno loco, quoniam ad, bd sunt super ipsos axes, et radii qui cadunt super e et super z , sunt ordine consimiles , 71 quia ae similem babet ordiiliem ei qui est be, et ax «i- milis est in ordine ei qui est bz; h ver» et k, quoniam ah eX bk sunt axes, apparebunt in uno loco qui est pun- ctus I; et quia bh, ak non sunt ordine consimiles, vide- buntur h^ k super punctos ^, m, et punctus t, eo quod radii atf bt sunt ordine dissimiles, videbitur in duobus locis qui sunt hy k. Nunc ergo decet nos, cum posuerimus distinctiones ali- quas communes de locis, in quibus apparel unaquaeque rerum , considerare quomodo debent inde videri res vi- dendae in locis suis , quibus sunt positae. Quod utique faciemus, postquam posuerimus de his quae locuti sumus, aliud principium manifestum, videlicet si non fueritpo- sita linea htk {fig. iS) aequidistans lineae ab, sicut prius praeposuimus , sed fuerit linea ah maior linea bk, et axes remanserint in statu quo fuerant oppositi puncto d. Res utique positae super punctos ft, h videbuntur super unam lineam, quae est gd circa punctum t; utraeque autem in uno loco non videbuntur, tamen k videbitur propinquior visui quam h, et erit diversitas earum in propinquitate et remotione maior, cum proclivitas hk a speculo fuerit maior. Tunc enim videbitur h in loco m, et & in locos, et haec duo loca 6unt, a quibus incidunt duae perpen- diculares super lineam gd. £t cum haec ita fuerint , sicut diximus , convenit , ut natura coaequet diversitatem quae est inter duos axes , et congreget eos secundum situm rei videndae ; cadent ergo utrique super eam a principio quod est inter eos , et est illud in quo debet coniunctio capitum pyramidum fieri, et distantia eius ab illis est aequalis, et eorum sensi- bilitas est communis; fltque hoc secundum-quod accidit in una via de eo , quod medium est inter utraque latera , 72 quouiam impossibile est ut magiiitudo quae est opposita eis, conscrvet situm similem penes unumquemque axium. Res enim quae apparet opposita utrisque oculis» non esi perpendicularis super utrosque axes. Quomodo enim pos- sumus faoc arbitrari, cum unusquisque axium declinet ad alterum, nisi de illo qui debet esse in medio, sicut diximus, et est distantia eius proportionalis, qui rationa- biliter debet vocari axis communis. Debemus autem uni- versaliter in his quae recte videntur, distinguere qualis est habitus locorum, in quibus apparent res videndae, et quod quantitas distantiae illorum a rebus veris esl se- cundum distantiam communis axis ab axe proprio visui, et haec distantia est perpendicularis cadens a rebus vi- dendis super axem communem.. Debemus etiam considerare , si illud quod distinximus, convenit rebus quae apparent. Ponamus ergo hic flgu- ram praetaxatam in eodem statu , ut unumquodque ex his consequatur metam suam. Sit unaquaeque de lineis ad, hd (fig, 19) axis visus; inveniemus ergo id quod est super lineam edK apparens in loco suo quo est , illud vero quod super lineam hih , invenietur in aliis loeis, quam in quibus comprehendebatury Manifestum est ergo, quod puncti edz apparebunt in locis quibus sunt» eo quod perpendicularis, quae ab unoquoque eorum proce- dit, cadit ab axe gd, qui est communis, supelr punctum unum, quoniam secundum quantitatem distantiae conimu* nis axi a proprio axe, ita etiam erit distantialoci, quo res apparet, a vero loco suo versus illam partem. Videbuntur ergo res ipsae in locis suis propter coniunctionem axium. Demonstratmqti est igitur, quod unaquaeque istarum rerum apparet in loco suo vere. Quod autem h, t, k non apparent in locis suis vere, ipsa causa est quam diximus, videlicet 73 quod proprius axis radiorum, quibus aspicit oculus a, est ah, et distantia eius cum sumitur super perpendicU'' larem, quae cmlit super axem gd communem, esi ht, quae est ut linea tk; iocus ergo quo punctu^ t videbitur, erit punctusft. Similiter etiam demonstrabitur quod haec eadem contingunt, si aspexerimus cum oculo b, Item si fuerint duae res positae super h et k, et fuerit unaquaeque ex / h, km sicut unaquaeque ex ht, tk,Tes quidem posita..super h apparebit super duos punctos t, l, ei apparebit visui a per Tadium ah super punctum t, quoniam distantia eius e8i th perpendicularis; visui autem b apparebit super punctum / , quoniam distantia eius est tk perpendicularis, quae est inter comunem axem et axem kb, qui est proprius, et est aequalis A^ et ad partem suam, et haec est distantia loci» in quo apparet punctus h visui b a certo loco suo ; et propter hoc etiam erit locus apparitionis rei positae super k peoes puhctum t et penes punctum m, Hoc autem concor- dat universalitatiy quam determinavimus. Manifestum est etgo, quod illud quod apparet in proprio loco suo, est id quod positum est super locum coniunctionis communis axis, et azis proprii radiis cadentibus super rem videndam, aut quod est positum super perpendicularem, quae cadit super communem axem , in loco in quo obviat proprio axi praedicto. Quae aliter autem sunt quam explicavimus , non vi- dentur in propriis locis suis , ac si essent concordes in specie; oportet enim hoc fieri secundum diversitatem» quae esVinter axes in distantia*, sive cum duobus oculis in- simul aspexerimus res videndas, sive cum aItero«. Quo- niam de rebus quae apparent sensui» cum una res videtur in duobus locis, si quidem texerimus alterum oculorum, for- ma quae remanet post alteram quae absconditur, remanet 74 in loco suo, ubi apparebat immobilis, ct cst illa guae primo apparebat. Unde manifestum est, guod res, in gua con* veniuut loca diversa, non est communis utrisgue oculis tantum, verum etiam et propria est unicuigue eorum. Quod licet nobis videre cer-tiori aspectu, si sumpserimus tabulam moderatae guantitatis, et con^tituerimus colorem eius nigrum, et posuerimus in minori laterum suorum distantiam aegualem distantiae, guae est inter oculos, ut a6 {fig, 20) , et erexerimus in puncto medietatis eius, gui est 9, perpendicularem gd, et protraxerimus lineas aex, beh, tek^ et fuerit tek aeguidistans linea a6, et linierimus^d co- lore albo et teh colore viridi, et aez colore rubeo, et heh colore croceo, et erexerimus super e aliguod parvum subtile. Posuerimus autem super punctos a, b utrosgue oculos, et tenderimus cum aspectu nostro ad locum ^ ex- guisite, erunt lineae a%^hh super axes, et apparebit nobis linea tek^ guae est viridis coloris, una linea, guoniam est in loco coniunctionis axium, et apparebunt nobis lineae aes^ guae est rubea, eiheh^ guae est crocea, utraegue quidem coniunctae in uno loco, videlicet super gd; unaquaegue vero earum semotim in alio loco, aez guidem super lem^ beh vero super nes; ipsa vero ged guae est alba, apparebit super az et super hh. Et cum texerimus visum b de lioea guidem tek, guae est viridis, nihil abscondetur, de duabus vero lineis albis abscondetur totum id guod est super az, et abscondetur de eo guod apparet super gd totus color croceus; de his autem guae sunt in duabus extremitatibus, abscondetur rubea» guae est super Im. Religuae vero lineae conservant loca earum, guae habebant, guando aspectus oculorum cadebat super eas. Quod totum seguitur ea guae prius determinavimus. Hac igitur de causa, cum visui insitum sit mirabil^ de* 75 siderium exquisite coniprehendendi res videndas, semper volvit axes eius, quousque locus coniunctionis eorum fiat in medio magnitudinis quam comprehendit, et ducatur ad positionem illam , quae fit secundum oppositionem, qua apparent loca subiectarum rerufa vere et diligenter. Si vero aliter fuerit, et distantia loci coniunctionis axium ab utraque parte non fuerit aequalis , ut res sit manifesta , non erit dlstantia eius a vero multa, quoniam cum axes quomodocumque fuerint declinantes ad alterum laterum, apparet diversitas rerum non manifeste, sed est confusa propter m^^nam diversitatem , quae fit a locis apparen- tibus et propter debilitatem radiorum lateralium. Quid igitur accidit ex rerum positione secundum oppositionem, ut diximus, demonstratum est. Qualis autem sit babitus in declinatione adlatera, co- gnoscemus tali modo. Ponatur caput alterius pyramidum punctus a (fig.2[), et coniungatur iterum communis axis, qui est gb, et axis ah super punctum.^, et producatur quaelibet linea, et sit dezh, et protrahantur a punctisd, e, h perpendiculares super bg, et sint dtk, el, mn, et sit ds aequalis lineae tk, eX copuletur sl, et producalur quo- usque iungatur cum linea nh, cum producta fuerit super puDCtum t. Dicimus ergo quod deh apparebit visui, qui est in puncto a, quod sit posita super sli; quod itaque e apparebit in loco puncti l, eid apparebit in loco puncti s , manifestum est ex praecedentibus. Nunc autem demon- stremus, quod punctus h videbitur in puncto i, quod ap- parebit, si ostenderimus quod h,i est sicut mn. Quia igitur proportio kl ai Im sicut proportio te ad en, el proportio kl ai Im ui proportio fts ad mi, et proportio £e ad en ut proportio td ad fcn, erit proportio ks ad mi sicut pro- portio td ad An. Permutatim ergo erit proportio ks did td 76 ut proportio mi ad hn, sed ks est sicut td; ergo mi erit sicut hn, Rursus protrahantur a punctis z, o duae perpen- diculares qzf, fop supcr bg, et ostendamus quod punctusz super punctum q videbitur, et punctus p videbitur super punctum , quod demonstratur, si ostenderimus quod li- neae qz^ zr sunt aequales, et quod lineae ofy po sunt aequales; videlicet quia proportio kl ad Iz ut proportio hs ad qz, et proportio kl ad 1% ut proportio te ad er; proportio autem te ad er sicut proportio td ad sr, erit proportio ksad q% sicut proportio td aiizr, ei permutatim erit proportio ks ad td sicut proportio qz ad xr, sed ftsest sicut 2(1; erit ergo qz sicut zr. Iterum quia pro- portio ks Sii of sicut proportio kl ad /f; proportio autem kl ad {f sicut proportio te slA eo, sicut proportio td ad op; erit proportio fts ad fo sicut proportio td ad op, et per- mutatim erit proportio ks ad td, sicut proportio o^ad op, sed ks est ut 2(f, linea ergo ofeTit sicut linea op. Rursus propter hoc quia kt est maior quam fo, el kt sicut ds, erit utique ds maior quam op, etpunctusp propinquior ad punctum 5, qui est coniunctio axium, quam punctusd. Rerum ergo, a quibus procedunt perpendiculares super communem axem , illa cuius casus super ipsum axem pro- pinquior est ad punctum coniimctionis utrorum axium , videtur propinquior ad verum locum suum, et quae sunt a coniunctione axium remotiores, videntur in uno loco a maiore distantia. Manifestum est etiam ex his quae diximus , quod illud quod de forma magnitudinis apparet , habet consimilem flguram, cum in eam aspexerimus, sed diversitas eritin positione sua tantum. In rotundis quoque rebus contingit id quod exponemus. Sint duo axes ag ^ bg {fig. 22), et protrahatur super eos circumferentia quomodocumque , 77 sitque dezhtk, et protrahantur a ^unciis d , e , z i^GTpen^ diculares dp, em, fz super axem hg, et producantur ad aliam partem, quousgue iungantur cum punctis h,t,k, et transferantur recte et dividatur unaguaeque de dl,kc, sicut qp et unaquaeque de hn, zr sicut fz eist sicut em. Visus ergo a videbit d quidem super /; k vero super c» et e super t?i, et ^ super $, ei z super r, et A super n. Manifestum est ergo , quod linea concava tota , quae est super dezhtk, videbitur super lineam concavam, quae transit per punctos Imrnsc. Accidit autem in lineis curvis simile ei quod diximus. Demonstratum est ergo, quod illud quod cum utrisque oculis tali modo videtur, debet videri iu duobus locis sive disgregatis sive coniunctis, cum aspezerimus secun- dum oppositionem ad eamdem partem sine aliquo lae- dente aspectum. Natura enim sensibilitatis cmn eius mo- tus ad universas partes nimis acutus sit, volvitur circa totam magnitudinem , et utitur coniunctione utrorum axium in valde modico tempore , cum velocitate , cui nulla est similis; et sicut fit in comprebensione rerum remotarum in aperitione oculorum, ita fit etiam velociter in revolutione visus per omnem magnitudinem videndam cum translatione duorum axium ad plures partes rei sub- iectae, quousque sensus sit cum toto et cum partibus in- simul. Partes vero erit distantils, eo quod debilitas sensuum plus fit penes coniunctionem. Universaliter enim cum visibilis radius^ quando cadit super res videndas aliter quam inest ei de natura et consuetudinc , minus sentit omnes diversitates quae in eis sunt, similiter etiam erit sensibilitas eius de distan- 78 tiis, quas comprcheudil , miuor. Vidotur autem Iiac de causa quod de rebus quae sunt in coclo, et subtendunt ae- quales angulos inter radios visibiles, illae quae propinquae sunt puncto, qui super caput nostrum est, apparent mi- uores; quae vero sunt prope horizontem, videntur diverso modo et secundum consuetudinem. Res autem sublimes videntur parvae extra consuetudinem et cum difflcailate actionis secundum id quod praetaxavimus, ubi dictum est quod formae rerum erectarum super specula ad reclos angulos videntur secundum rectitudinem sine proclivitate, et apparent translatae ad eandem partem, ad quam res moventur. Secundum speciem enim doctrinae, quam in eo quod recte apparet , sumimus , et inde cognoscimus rei videndae positionem , ita procedimus et in cognilione loci formae non vere apparentis, cum res congregata videtur recte ex utrisque habitudinibus, illius videlicet, quae sub- iectae rei est, et eius quae vere apparet, et conservat hanc metam cum eo quod ex utrisque apparet, tamquam si omnes viderentur secundum oppositionem ad partem po- sitionis suae quae apparet. Magnitudo enim recta apparet recta, forma autem vera in distantiis moderatis cum fuerit super unam lineam rectam, et res posita super specula ad rectos angulos, necesse est ut id, quod de situ apparet , inveniatur ez utrisque insimul super unam lineam; et si eadem magnitudo apparuerit erecta super speculi superflciem, et apparitio eius fuerit super unam lineam rectam , rursus videbitur erecta super ipsa super- ficiey ita quod nulla distinctio sit inter eam et totalem diversitatem > ac si constituerimus res videndas in veris locis, illas videlicet quae ponuntur, secundum quod spe- culis pertinet de his quae videntur et formis eorum, con- servata in unoquoquo utrorum locorum meta eius, quod . V 79 apparet penes rem vcre videndam ad prope. Demonslra- tum est ergo, quomodo fit comprehensio visibilium pyra- midum, quae est secundum naturalem cursum, et refertur ad unam et primam comprehensionem virtute et situ ; quod flt cum aspexerimus cum utrisque oculis partem rei quae aspicitur cum altero oculorum, et nihil mutetur de naturali motu. Accidit enim actionem istam univer- saliter fieri, cum utriusque axes, qui virtute sunt pro- prii oculis, coniuncti fuerint a principio, a quo proce- dunt per virtutem regitivam ad rem videndam , quae Gonstituit eos super unam et eandem lineam ad situm communis axis inter capita pyramidum , et fit casus tadii super illum , cum fuerit unus et idem radii locus, trans- feratur per virtutem propriam sibi ad ipsas res. Illa enim quae sunt super ipsos axes apparebunt manifeste iinum locum obtinere , qui est communis axis ; illa vero quae fuerint Buper ceteros radios, apparebunt in locis, quorum distantia a certo loco eorum est ut distantia axis com- munis ab axe sibi proprio, nec est quod prohibeat in demonstrationibus, quae attributae sunt speculis, cum com- prehensio fuerit per unum oculum et unam comprehen- sionem ab uno principio, quin flat secundum unam de his speciebus cum natura earum, ut exposuimus; sit ex congregatione sensibilitati^ rerum , quae secundum com- munitatem apparent. Res enim quae aspiciuntur et com- prehenduntur utrisque oculis, apparent per unam ex virtutibus suis continuam cum principio nutus. Ex his igitur quae dici debeant de dubitationibus , quas expli- cavimus in principiis pracpositis , sufficiant nobis quae dicta sunt. Nunc autem post hac dicamus de formis, quae appa- rent secundum unamquamque praedictarum specierum 80 simplicibus, utiquc et iilis quae videntur in flguris spe- culorum , quibus nihii aliud commiscetur in omnibus rebus videndis. Postquam prius locuti fuerimus de colo- ribus, dicemus ergo de eis sermpnem communem, vide- licet quod fit etiam in his, quae apparent de formis eo- rum quaedam diversitas, cum metita fuerit cum eo quod apparet directe; cuius causa est debilitas quae accidit ex reverberatione , et iam diximus, quod hac de causa de- biliori aspectu res apparent, et apparet etiam in colo- ribus earum diversitas ex coloribus speculonim. Yisibiles enim radii deferunt secum aliquid ab ipsis coloribus ad res subiectas ; verumtamen huiusmodi perscrutatio non debet attribui speculis ; quod enim accidit ex reverbera- tione , est commune quid omnibus rebus obstantibas ; quod autem accidit ex colore speculi , est commune his et illis, quae videntur sine fractione radii, quoniam id quod de coloribus videtur, semper mixtum est secundum aliquam proportioncm. Similiter etiam in coloribus qui sunt in aere , et qui flunt ;ex rebus quas visus penetrat» flt rursus visui sensibilis colorum susceptio. Similis esi etiam habitus rerum quae comprehenduntur per ea quae visus penetrat. De rebus igitur quas demonstrare volumus , consti* tuamus demonstrationes per lineas, non utique secundum species , quae sunt in omnibus propositionibus princi- piorum de scientia speculorum , cum sint diversae , et indigeant speciali librOy sed secundum posse nostrum, ut patcant formae onmium rerum quae videntur aut recte aut aliter. Oportet autem in memoria retinere in uni- versis quae demonstravimus, id quod nunc dicturi sumus, ne indigeamus illa saepc reiterare, videlicet cum dicimus visum , intelligendum est caput pyramidis radiorum qui- 81 bus aspicitur, et cum dicijqoius in superficie specalorum: rectam lineam , intelligendus est terminus communis su- perAciei speculi et superficiei erectae super speculi super- ficiem ad rectos angulos transiens per radium refractum ; et cum dicimus in sphaerico speculo circulum, intelligenda est sectio commimis superflciei eius, et superficiei guae transit per radium refractum et per centrum sphaerae ; et cum dicimus speculum curvum, intelligendum est spe- culum, quod yisui est oppositum a curvaparte sphaerae; et cum dicimus speculum concavum, intelligendum est il- ludy cuius^sphaerica superflcies concava est opposita trisui. Postquam igitur haec determinavimus , debemus inci- pere et dicere guae accidunt in speculis planis, cum in eis inTeniantur species omnium guae ridentur, secundum qnantitatem guidem multitudo rerum guas divisimus, et magnitudines continuarum rerum etdistantiae; secun- dum gualitatem autem et significationes habitus rerum, diTersitates motionum et continentiae flgurarum et posi- tiones in locis, per guas fit in planis speculis, ut unus visus.Tideat xmam formam unius rei si non mutatur, guamTis sit a speculo remota. Esto linea recta super speculi plani superficiem abg ifig» 23) , sitgue tIsus punctus d et res videnda e, et visibilis radius gui procedit a d, refringatur ad e ad aeguales an- gulos, sitgue sicut radius dbe. Dicimus ergo guod a spe- culo non refringitur ad e alius radius de his gui procedunt a puncto d ad aeguales angulos. Si Tero possibile est hoc, reMngatur radius dze; guia igitur angulus abd maior est angulo axd , et angulu^ zbe minor est angulo gze, et angulus abd aegualis est angulo zbe , erit angulus gze maior angulo azd. Non ergo refringetur radius dz super lineam z« ad aeguales angulos. Manifestum est ergo ex 6 82 his quae diximus, quod si. posuerimus angulum gzh sicut angulum azd, non coniungentur linea xh ei linea be super alterum punctorum h, e, neque ad partem eorum, quoniam angulus zbe est maior angulo gxh. Similiter etiam demonstrabitur, quod ei protraxerimus a re Tidenda, quae est e, perpendicularem et super ag , et produxe- rimus lineas et, db , conjungentur in puncto k. Quia igitur anguli dba, ebg sunt aequales, erit anguhu dba minor recto. Angulus ergo hbt ei oppositus erit minor recto y et ideo et quia angulus ktk est rectus, eo quod est oppositus angulo gte, erit quod ex utriBqoe angulis tbk, btk minus duobus rectis. Lineae ergo ett dh iun- guntur super punctum k. Forma ergo e, quam videt yisus d, est super punctum k. Accidit itaque in hoc speculo, sicut id quod recte videtur, eo quod res quae vi- dentur cum uno radio non recto, apparent in uno loco. Cum aspexerimus aliquid in plano speculo, distantia rei videndae et distantia formae eius a visu aequales sunt. £sto recta linea, quae in plano specuIoab<7 {fig. 24), et sit visus punctus d, res autem videnda punctus e, et refrin- gitur radius a visu d ad aequales angulos, sitque dbe, et protrahatur ab e perpendicularis super ag, sitque ex^ et producantur lineae db, ez, quousque iungantur in A. Dici- mus ergo quod linea dh aequalis est utrisque lineis hb, be simul acceptis, et ez sicut zh; quoniam ergo angulus abd est aequalis angulo zbe, et angulus zbh sicut anguluB abd, quia sunt oppositi ; angulus vero qui est penes s , est rectus, et linea bz communis est duobus trianguli&ftsA, bze, erit linea ez sicut zh, et linea be sicut linea bh; et si posuerimus db communem, erit tota dbh sicut utraequc lineae db,be simul acceptae. £x his autem quae diximuSy digposcetur quod forma rerum, quarum distantia 83 a visa maior est, maiorem habet distantiam, utpote res quae vere videntur, guanto elongantur, tanto remotiores apparent visui, guod fit secundum ciu^ntitatem augmenti longitudinis radiorum. In planis autem speculis , sicut exposuimuSy apparent distantiae magnitudinimi in rebus, quae vere et recte yidentur» sicut apparent in forma quae videtur et in loco suo, et nisi bae constitutiones, quas exposuimus , fuerint observatae , nihil apparebit nobis ia lus quae recte videmus simile eis, quae in speculis apparent , si etiam aequales angulos subtenderent , aut unuia et aundem angulum, sicut in praecedentibus de- moustravimus. Gonslituamus ergo unamquamque posi- tionem, super quam res ponuntur, rettam; per hanc euim positionem solam .possibile est hoc et in spbaericis specuUli non differri nec defraudari in rebus videndis et formifil earum ab his quae diximus. Res quoque quae non ita 80. habent, nec facilis est in eis ratiocinatio, nec exi- stunt sicut diximus , rectam> vero positionem dicentes iUani. sentimus, ut visibilis radius , qui cadit in medium lineae». quae copulat utrosque terminos guantitatis rei vi« deiidae, contineat cum eo duos angulos rectos, et hic est situs advetsus, qui flt secundum oppositionem. Dicimus autem distantias aequales, cum super medium linearum, quae copulant terminos magnitudinum videndarum, pro- cedeiint a visu aequales radii. Esto- linea recta abg {fig. 25) in plano speculo, et visus sit d, linea vero, quae copulat utrosque terminos rei vi- dendae ez, et habeat situm, ut cum perpendicularis quae est bd, producta fuerit ad lineam ag, dividat eam in duas aequales partes, et haec est positio secundum oppositio- nem.\ Refringantur quoque radii procedentes ad aequales angulos super e,z, ut dhfhe,dt, tz, et protrahantur a 84 punctis Bf z dua^ perpendiculares super d^g, et sint ea^ gg, et producantur hae duae perpendiculareB, quousque iun- gantur cum duabus lineift dA et dt, eum fuerint pTotnctae super punctos k,l, et copuletur lineaJfc/; iupimctoeif^ k erit forma puncti e, et in puncto i erit form» puncti s; linea autem kl copulabit utrasque extiemitates formaa rei. Manifestum est ergo ex his quae diximus, qood ciun anguli figurae a^g^ e,z fuerint recti, oportet ut ag sit sicut ez, et ae sicut gz. Diximus quoque in praetaxatis principiis, quod ae eni ui ak, ei gz sicutf I; totum ergo eak est sicut totum xgl, et kl sicut ez, el duo angoli, qui sunt penes punctos k, l, sunt recti. Erit eig^positia lineae quae copulat terminos formae rei Tidendae aicat d»- ximus, et erit ez coaptata super Jfc/ in eo quod «ppcrei risui d , et erit distantia eius secondum oppoBiitonem , et similis distantiae et positioni eius, et continebit eam unus et idem- angulus, qui est kdl, quem T66 Tidenda Tidebatur subtendere secundum positionem remm , quas praeposuimus ; formae enim rerum , quas aequales angoli continent, cum fuerint per omnia aequales, debent uni* yersaliter apparere aequales. In planis speculis apparel figura formae rei quantitatem habentis , similis ftgaiae verae rei, si esset posita in loco Tisibilis radii aine re- rerberatione. Esto figura (/^.26) habens aeqtddistantia latera et aii- gulos rectos abgd, et diTidantur latera eius in doaa ae- quales partes in punctis e^z, h, t, et protrahantur ibi duae lineae ekh^ zkt , et constituantur duae circumferenUae transeuntes per punctum z, quarum altera sit curva Tersus speculum et radium refractum, et sit Izm; altera Yer» circumferentia sit concava similis illi, et sit nzt, ita ut kz sit perpendicularis super eas,. sicut accidit in situ 8S> «Tecto; Bitque linea ekh super speculum planum, el ra- dius visibilis secundum directionem lineae kz ad partem in quoniam visibiliB radius, qui est super directionem lineae kx perveniens ad punclum t , est erectus miper omnes formas linearum ; radii vero qai procedunt ad terminos lioearum et universas partes earum , sunt obliqui , et proportiones eius quod ex eis ad « et <( pervenit , ad illud quod pervenit ad t , sunt maiores quam proportiones eius quod ex eis ai^,r per- venil» ad id quod pervenit ad t; et minores sunt quam propoiliones eius , quod ex eis ad o et f^ pervenjt , ad illud quod pervenit ad t. Magnitudines autem linearumy ad quas , cum a visu producti fuerint radii , proportio obliquorum ad erectos maior fuerit, et situs linearum oppositus , videbuntur curvae ; in quibus autem huius* modi proportio minor fuerit, videbuntur concavae. Linea ergo atd erit curva , cmn curvabitur et fuerit super otf; erit autem concava, cum curvabitur et extiterit super qtr, et linea atg est recta. Universaliter autem lineai otf est curva; linea vero qtr concava. Quod igitur unaquaeque huiusmodi figurarum neces- sario debet videri super -unam lineam , manifestum erit SG ex ipso ofrtclu. Patet eliam naturaliter, quod fonnae ma- gnitudinum continuarum coaequales partes habentium, quarum totalitas figurarum aequalis est, cum fuerint in speculis stabilibus in eodem habitu et non fuerint con* fusae , habent fonnam unius imaginis simplicis. In situ enim huiusmodi rerum continuas partes habentium non sunt aliae partes in aliquo magis praecipuae quam aliae. Possibile est autem nobis cum his quae diximus, digno- scere hoc mathematice faciliter; videlicet si copulaverimus lineas nz, qt {fig. 26), et signaverimus super circumferen- tiam nz concavam punctum i/, et posuerimus quod forma eius sit super lineam rectam, quae est ^t, et protraxeri- mus lineam aequidistantem lineae ab: erit proportio aq ad po? sicut proportio at Bid tp , et proportio bx. ad ix sicut proportio bn ad ci, et linea at aequalis lineae bz, et linea pt aequalis lineae iz, et linea aq aequalis lineae bn. £rit ergo liueapo; aequalis lineae tc, et lineapu aegualis lineae iy. Remanet ergo linea xy aequalis liaeae eu, et linea yi maior quam linea xu. Non ergo in puactoop apparebit forma y, distantla vero y a puncto x est jBicut distantia u a puncto c , erit ergo hic punctus super ii- neam concavam. Similiter si posuerimus qualemcumque lineam copulantem duos punctos formae, impossibile ei3t super eam incidere formam cuiuslibet de circumferentia curva, nec de circumferentia concava. In planis speculis videtur locus formae in ea parte, qua et res vera, cuius est forma, et cum res videndae dedi- naverint ad aliquam partem, declinant formae earum, sicut apparet oculo, ad eamdem partem. Sit in speculo plano recta linea abg {fig. 27), et visus sit d, res autem videnda ez, et refringantur a visu^^f duo radii ad aequales angulos ad punctos e, z, et sint i^ae, dbz, et protrahautur 87 da ei db recte, quousque iungalitur cum duabus perpen- dicularibus cadentibus super ab o, punctis e, z super pun- ctos ^, ^ , et copuletur linea ht. Punctus ergo e videbitur in loco h, et punctus z in loco t, Loca vero apparitionis istarum duarum formarum sunt in partibus illis» in quibus sunt duae res vere ; protrahatur autem linea ez recte,- quousque pervenerit z ad k, et refring^tur ad fc a puncto d ad aequal.es asgulos radius dgk^ et protrahatur linea dg^ quousque iungatur cum perpendiculari cadenti a puncto k super punctum / in linea ag. Forma ergo quae apparebat penes t, translata est ad ^, et haec irans- latio flt ad partem, in qua translata est res vera, vide- licet X , quae translata est ad locum k. Si ergo verbi gratia animadverterimus, quod unaquaeque de zkeibg sit supra visum, fonna utique tl apparebit in superiori ab oculo parte, et videbitur hoc concordans rei quae vere videtnr, et apparet quod sublimius supra et quod infe- rius Bubtus. Res enim quae recte apparent, ita videntur, videlicet quod sursum- sursum, et quod deorsum deor- som. Visibilis enim radius sublimior videt quod sursum , inferior autem videt quod deorsum; et si existimaverimus unamquamque de kz, bg a dextris visus, erit iterum forma tl in dextra parte, et transferetur f ad Mn dextram partem. Tamen putabitur quod forma / sit dextra, et forma t sinistra; rerum enim quae recte apparent facies, (nim fuerint oppositae faciei nostrae aequidistantes ei, non flt situs dextrae earum, dexter, nec sinistrae sinister, sed e converso. Huiusmodi autem fallacia non est a speculo, sed ex opinione. Res ergo quae est in loco z et videtur per dextrum radium, apparet in dextra parte nostra, et cum movebitur punctus z, afparebit punctus t moveri se- cundum sequentiam principiorum, quae iam praeposuimus. R8 lloc eiutem siiuile est liis quae appareut in rebus, quae recte videntur , videlicet quod ea quae videntur per ra- dios dextros , apparent a dextra parte nostra , et quae per sinistros, a sinistra; et quia id quod est a dextris nostris, de re cuius facies est opposita faciei nostrae, est a sinistris rei nobis oppositae , formae vero faciea est op- posita faciei aspicientis eam ; oportet ut cum id , quod succedit puncto t, fuerit forma rei dextrae, et videbitur a sinistra parte nostra, arbitretur mens esse Binistrum, quoniam videtur per radium quem diximus, et est sini- strum rei, cuius facies opposita est rei verae. Fonnas quidem quae apparent in planis speculis, possibile est cui- libet cognoscere per ea quae demonstravimus non diffeiri a subiectis rebus, quae recte videntur, de his quae com- prehenduntur, et quod habitus utrorum similes sint. Quia vero sequitur ea quae diximus, contemplatio eius quod accidit formis, quae apparent iu speculis curvis et concavis, primo debemus dicere, quod in his duabus spe* ciebus accidunt plura diversa ab his quae recta apparent, quod quidem videtur in planis speculis. Fere omne vi- detur simile apparere illi quod recte videtur» sicut in praecedentibus demonstravimus. Rectam enim iineam ac» cidit esse tamquam rem mediam inter alias duas figuras» curvam videlicet et concavam, et est in ordine aequi. Hae autem duae flgurae sunt in ordine rei non aequae / et sunt ad invicem contrariae, et contrariae ad lineam rectam* Quapropter oportet considerare praeponendam esse rectam lineam lineis curvis et circumferentiis , tam in natura quam in dignitate; huiusmodi enim lineae curvae primae simpllces, quarum una est constitutio, fiunt ex lineis rectis, et sicut plana specula maiorem aliis proprietatem obtinent in observanda ordinatione, ita et specula curva 89 habent a visu maiorem concavis pfoprielatem in obser- vanda ordinatione. Superficies enim, de qua fit reverbera- tio, semper est in speculis curvis inter centrum sphaerae et visum ; superflcies autem speculi concavi numquam erit in aliquo tempore in loco quem diximus. Diversitates etiam quae flunt inter illud quod apparet secundum di- rectionem curvorum speculorum, minores sunt quam illae quae sunt inter iilud et concava specula; qua de causa praeponendus est sermo de curvis speculis, cum contem- platio eorum sit levior contemplatione concavorum. In curvis enim speculis aspicienti cum uno oculo sem- per videtur una forma, et apparet infra speculum; super sphaeram antem, de qua speculum constitutum est, num- quam in aliquo tempore videbitur. Esto igitur sectio circuli qui in curvo speculo, et sita^^d {fig. 28), cuius centrum sit e, et visus punctus z, et res videnda A, et refringatur a s ad A radius ad aequales angulos, et sit zbh. Dicimus ergo, quod non refringitur ad eum alius radius ad aequales angulos; quod si possibile est, sit radius zgh et produ- etitur linea tbgk^ et quia angulus zbt est maior angulo zgt , et angulus zgt maior est angulo zga, erit utique angulos zba multo maior angulo zga. Sed angulus zba est ut angulus hbd; angulus ergo A&^fmaior est angulo zga^ et angulus hgt maior est angulo hbg; angulus ergo hgd multo maior est angulo hbd. Non ergo refringitur zgh ad aequales angulos. Et manifestum est, quod si po- suerimuB angulum zga aequalem angulo dgl, non iun- gentur lineae bh, gl ad partem h, l, quoniam angulus tgz maior est angulo kgl , et angulus tbz maior est angulo tgz, et angulus kbh maior est angulo tbz; angulus ergo kbh maior est angulo kgl. Non ergo iunguntur lineae bh, gl ad illam partem , qua sunt puncti h, L Rursus pro- 90 trahanlur lineae hme, zb, et iungantur in puncto m. In puncto igitur m solo videbitur forma /i, propter principia guae praetaxavimus, et erit semper inter rem videndam et e^ qui est centrum circuli, quoniam linea quae procedit ab 6 ad 6, dividit angulum zbh. Cum ergo fuerit producta linea zb, secabit he, et debet esse retro speculum. Spe- culum enim est- inter visum et coniunctionem praedicta- rum linearum. Quod quidem forma rei videndae sit se- cundum quod diximus, et quod apparet inde secundum quod arbitrati sumus, certum est. Coniunctio autem in qua apparet. forma , non semper est inter superflciem speculi et centrum sphaerae. Pos- sibile est enim coniungi pracdictas duas rectas lineas in ipsa superficie speculi , et iungi iterum inter superflciem speculi et rem videndam. Rursus esto sectio circuli, qui in curvo speculo, circnm- ferentia bg {flg. 29) , et sit circumferentia ista minor sezta parte circuli, et producantur duae lineae ebt,$gkf etre^ fringatur z6 ad aequales angulos ut zbL Dicimus ^igo quod blf cum producta fuerit, obviabit egk in j>arle pufi- ctorum kf l, et quia circumferentia bg minor est sexta parte circuli, erit angulus beg minor duabus partibus recti an- guli , et angulus ebg , qui est sicut angulus xbt^ maior est quam duae partes anguli recti. Angulus verorblae- qualis est angulo tbl; angulus quoque tbl maiorest an- gulo beg; lineae ei^o bljek conveniunt in illa parte, in qua sunt puncti k, l. lungantur itaque in puncto m. Si ergo opinati fuerimus, quod visus sit z et res videnda m^ erit forma eius super punctum g , qui est in snperflcie speculi. Rursus in simili flgura protrahatur linea ek , et non transeat per punctum g , sed secet lineam hb in pun- 91 cto *, et sit angulas bem minor angulo ebg y qui est maior quam duae partes recti anguli. Quia igitur an- gulus ebg maior est angulo bem , et angulus ebg sicut angulus zbt , et angulus zbt sicut angulus tbl, maior quam angulus bem; lineae ergo bl, ek, cum productae fuerint ad partem punctorum I, k, iungentur in puncto m, forma ergo puncti m apparebit visui z in puncto k, qui est inter speculum et rem videndam; et si punctus k posset cadere inter visum et speculum, appareret utique forma ante speculum , sicut accidit in concavis speculis. Sed quia punctus b semper necessario tegit punctum k, oportet ut speculum appareat ante formam , cum visus tunc non dividat inter superficiem interiorem et superfl- ciem exteriorem, et oportet ut forma sit retro superficiem. In speculis curvis distantiae rei videndae ab aspiciento el a super&cie speculi maior est quam distantia formae rei videndae. Esto sectio de circulo, qui est in curvo speculo, et sit abgd, centrum autem circuli e, et visus^, et re9 yidenda, h, et refringatur ad rem videndam visibilis ra- dius zbhnd aequales angulos, ei copulentur duae lineae eb, eh, et producatur bz quousque obviaverit eh in puncto t. Erit igitur forma puncti h in loco t. Dicimus ergo quod lineae b^s, bh maiores sunt lineai zbt, eigh maior quam gt. Protrahatur itaque a pimcto b linea tangens circulum, et sit kbl, ei quia angulus abz aequalis est angulo dbh, et angulus abk ut angulus dbl, remanet anguIuB kbz^ qui est sicut angulus Ibt^ ut angulus Ibh; angulus vero Ibt est acutus , quoniam angulus ebl est rectus, et an- gulus blh maior est angulo blt. Linea ergo bh maior est linea bt; sitque lineai.zb communis , erunt ergo liuQae zbf bh maiores quam linea zbt; ei quoniam propor^ tlo bh ad bt sicut proportio Ih ad U, erit etiam linea Ih 92 maioT guam linea li. Oiianto magis ergo superat gh li- neam gtf Ex his etiam quae diximus, demonstrabitur leviter, quod forma rerum, guarum augetur distantia, et aliae remotiores sunt aliis, remotior fit, et distantia eius apparet maior. Protrahatur ergo linea hh ai m , et copuletur linea em , et producatur linea zbt , quousgue obidayerit lineae em in puncto n . Si ergo posuerimus quod h sit aliud gnam m, et quod m sit remotior quam A, erit utigue n, gui est forma m, remotior guam t, gui est forma h, a visu s; et si posuerimus guod /i sit m, sed distantia sit augmen- tata in translatione eius ab A ad m , erit iterum forma eius remotior, cum sit translata a ( ad n. In speculis curvis formae rerum, guarum situs est ut iUa guam diximus in planis speculis, ubi lineae guae copulant terminos rei videndae sunt recte positae, apparet minor guam magnitudo ipsarum rerum, si essent in illo looo quo forma, et secundum ipsimi situm et distantiam, et aspice- retur sine reverberatione. Esto sectio circuH, gui in spe-^ culo curvo, et sit abg {fig. 32), et centrum eiuB d, visus autem e, et protrahatur a puncto e perpendicularis ebd, sitgue linea copulans terminos rei videndae Mh; et sit situB rei videndae talis, ut linea ebd secet lineam xh in duas aeguales partes ad rectos angulos, secundum guod existit res opposita, et producantur a puncto e duo radii refracti ad ;ar et ad A ad aeguales angulos, et sint eax, eghf et copulentur lineae dz, dh, et producantur eg, ea, guous- gue obviaverint lineis hd, zd in punctis It ; copuletur linea It, Secundum principia ergo guae praeposuimus, de- bet videri forma z in loco t, et forma h in loco /, et erit linea It illa guae copulat terminos formae rei videndae, et positio eius sicut positio zh; et guia distantia puncti e, 93 qui est visus, ab unoquoque de punctis z^ h, est sicut distantia alterius ab altero causa similitudinis eorum in positione, erunt utique anguli, qui sunt penes reyerbe- i^ationes quae ad illos fiunt, aequales, et distantiae puncto* rum t, l^ qui sunt super foAnam quae apparet in speculo, erunt a puncto e aequales, et erunt lineae et, el aequales, et anguli eth, elk aequales» et anguli teky kel aequales. Trianguli ergo ekt, ekl erunt aequales, et aequales habe- bunt angulos; anguli vero» qui sunt penes fc, sunt recti» linea ergo tl aequidistans est lineae zh, et ideo erit pro- portio dh ai dl sicut proportio zh dA tl. Linea vero dh est longior linea dl; linea ergo zh longior est linea U, et si transferretur linea zh ad locum lineae tl, appareret utique visui e sine refractione per angulum maiorem angulo tel, quem subtendit II, et hoc concordat his qua& praeposuimus. In curvis speculis apparent oppositae lineae rectae qui- dem curvae. De circularibus autem illa, cuius curvitas est versus speculum et radium fractum, apparet curva; cuius autem concavitas est versus speculum, quandoque videtur curva, quandoque recta, et quandoque concava. Esto sectio cir* culi in curvo speculo abg {fig. 33), et centrum eius d, ei visus e, sitque perpendicularis cadens ab aspiciente super speculum ehd; et constituantur a lateribus puncti6duae drcumferentiae aequales ba, bg, et refringantur a visue duo radii cadentes super punctos a, g ad aequales angulos, et sint eaz, egh, et tangant circulum in puncto b lineae, quarum recta sit tbk, circularis autem, cuius curvitas est versus speculum et radium refractum, sit zbh, et co- pulentur lineae td, kd, zd, hd, quibus iungantur lineae ea, eg super punctos l, m, n, s. £rit ergo forma puncti t. 94 quae est cxtremitas reclae liueae, in /, et forma puncti k in m, et forma z, guae est extremitas curvae lineae in n; forma autem h in s. Manifestum est ergo, quod ex utrisque si- milis punctus b apparebit in loco b , quoniam ibi con* veniunt superflcies speculi e\ visibilis radius. Curvitas autem circumferentiae abg est versus visum e, et formae linearum simplicium, quae sunt ex una linea, sunt rursus una linea ex una specie. Visus ergo videt utrasque li- neas , quae transeunt per punctos l,b,met punctos s,b^n curvas, cum habeant maiorem curvitatem quam circum- ferentia abg, Tamen circumferentia sbn magis erit curva quam Ibm; et cum fuerint res oppositae visui, et proportio linearum proclivium quae exeunt a diametro, fuerit maior quam consimiles ad erectas, cum aspicitur ipsa res recte, linea quae transit per punctos l, b, m et est forma lineae tbk rectae , erit curva. Similiter eliam linea, quae transit per punctos n,b, Sj et est forma lineae zbh curvae, erit curva. De linea autem quae aspicitur, si fuerit concava, qualiter possibile sit ut secundum quantitatem longitudinis per- pendicularis cadentis inter lineas, quae continent circulos^ forma eius quandoque appareat curva et quandoque cou- cava et quandoque recta, potest sic demon8trari..£8to sectio circuli in curvo speculo ahg (fig, 34), cuius centrum sit d, etvisus e, et per][>endicularis ebd, et describatur circum- ferentia circuli transiens per punctos ag et secans per-. pendicularem be, quae sit azg, et sumantur a lateribus z duae aequales circumferentiae, et sint zh, zt, et refringan- tur ad h, t duo radii a puncto e ad aequales angulos, et sint ekh, elt, et copulentur dt, dh, et iungantur lineis eft, ^j, cum fuerint productae ad punctos m, n, Videbitulr ergo h in m et / in n, puncli autem a, g videbuntur in locis suis. Possibile quoque est punctosm,n quandoque esse inter 95 circumferentiam aft^, quae est circumferentia speculi , et lineam rectam, guae copulat punctos a, g; guandoque vero super ipsam rectam lineam, et quandoque inter eam et d, qui est centrum sphaerae, secundum profunditatem conca- vitatis circumferentiae azg. Et manifestum est, quod huius- modi formae cum fuerint super unam lineam, et fuerint puncti m, n supra lineam rectam, quae copulat puncios a, g, visus e videbit curvitatem eius versus se , et cum fuerint puncti m, n super ipsam lineam, videbitur recta, et cum fuerint remotiores ab e, videbitur concava. Quod erit ma- nifestum ex constitutione formae, proportionibus radiorum declinantium et ab iila extensorum ad radios rectos. In curvis speculis apparet forma rerum in illa parte , in qua est res vere, et cum res videndae translatae fuerint ad aliquod laterum , figura eius transfertur ad eamdem partem. Esto sectio circuli in curvo speculo ahg (fig. 35), cuius centrum sit d, et visus e, et res videnda a lateribus visus in punctis h, z, ei refringantur ad eos duo radii ad aequales angulos, et sint eaz, ebh, et protrahantur lineae dz; dh, et iungantur eis cum protractae fuerint ea, eh in punctis t, k. Videbitur ergo :; in loco t, eih in loco k, et umlsquisque eorum in ea parte, in qua est res vera, cuius est forma. Transferatur itaque h eid l, ei refringatur ad eum per aequales angulos radius egl, et protrahatur linea dl , et obviet ei, cum producta fuerit , liii»a e^ in m. Forma ergo , quae est in puncto k , translata est ad m ; translata est ergo ad illam partem , ad quam res vera. Oportet itaque ex causis quas praeposuimus in his quae diximus de forma, quae videtur in planis speculis, si con- stituerimus punctos h, l super visum; puncti utique k,m, qui sunt formae h,l, debent videri super visum, et ma- gnitudo quae est inter eos, apparebit supra visum; et si' 96 posuerimus h,l sl dextris visus, erunt forinae eorum qui sunt ft, m, a dextris nostris, et sic indicabitur de sinisira parte. Tamen non videbitur hoc eo modo, qno videntur res, quarum facies sunt oppositae nostris, sed puiabimtur esse sinistrae quae sint dextrae, propter consuetudinem quae est in rebus quae vere sunt oppositae faciei, sicut iam diximus. £t oportet ex his quae diximus , ut in cnrvis speculis sint diversitates in numero et positione et translatione prope ea, quae fuerint in rebus quae recte videntur. De* monstratum est enim, quod ibi forma unius rei una est, et forma rerum videndarum supra caput sunt illic, et qoando res vere transferuntur ad aliquam partem, farmae earum transferuntur cum illis ad eandem partem. De diversita- tibus autem quae flunt in quantitatibus magnitudinum et distantiarum , et in qualitatibus flgurarum, maior pars non habet illam habitudinem, quae est in his quae recte videntur, propter causas quae conveniunt generalibus prin* cipiis praedictis. Invenimus enim formas magnitudinom aequalium in distantia et situ a rebus veris minores, qanm anguli qui eas continent, minores sunt, et invenimoB formas non semper observare ordinationem rerum quae verae sunt; proportio enim radiorum obliquorum adrectum radium non flt necessario secundum habitudinem eomm in rebus, quae recte videntur. Si etiam quaedam de fonnis rerum esseat in flgura similes flgurae rei quae videtur in toto, et non essent similes secundum maius et minos, ut formae rerum curvarum , quae semper videntur dissi- miles a rebus; similiter etiam et concavae. Distantiae*aa- tem videntur minores ; radius enim qui pervenit ad for- mam, minor est quam ille qui pervenit ad veram rem, et inde iudicabitur de ve, quae recte videtur; exinde quo- que iudicabitur de quantitatibus et figuris et distantiiSi postquam omnia reliqua coaequata fuerint. 97 SERHO QDARTUS De (^ticis Tholomei. Gnm igitaT in praecedenti sermone sufflcienter locuti giniiui de principiis et taxatis conditionibus , quibus indi- getnr et necessaria est scientia eorum in speculis , et inlimaremus habitus formarum, quae apparent in speculis planis el curris, et diceremus quae oportet in eis accidere i6 tmiveisis rebus videndis , debent illa sequi in praesenti serttiane reUqua eorum , quae exponere promisimus de specolis. Bicamus ergo ea quae accidunt et apparent in ultimo geaere speculorum simplicium , quae non sunt compo- sita, Tidelicet de speculis, quorum superiicies vism subia- cens est concava, et procedamus in hoc secundum quod in aliis processimus ; et rursus demonstremus hic primo quod possibile est in concavis speculis fleri reverbera- tioniem unius et eiusdem visibilis radii, quandoque ex aniTeiBis partibus , et quandoque ez universis parlsbus circuli perfecti de drculis eius , quandoque vero ex tribus lods eius vel de duobus tantum, aut non reMngi ab ali- qao loco eius. Oportet ergo ut distinguamus et e^licemus in qu0 loco &t unumquodque praedictorum, et quandoque debet fieri fonna quarumdam refractionum secundum qnemlibet modum de his quae praeposuimus. BioimuB ergo quod reverberatio ab universa superflcie spe- culi flt ita. Esto sectio circuli in speculo concavo, quae est abg Ifig» 36) , cuius circuli sit centrum d, et protrahatur in speculum perpendicularis bdj sitque visus punctus d, et sit punctus e mediimi aspicientis, et constituatur in superflcie 7 98 ista super centmm d circumferentiaseA, secans latitudinem aspicientis^et protrahantur duae lineae azd, ghd, Erunt ergo perpendiculares super speculum. Omnes igitur radii ca- dentes a puncto d super circumferentiam abff refringun- tur in se ipsos ad punctum d, et comprehenduntur et sentiuntur per loca, super quae cadunt a ^isu radii similes da.dhfdg, et comprehenduntur et sentiuntur per punotos e^x,h, Accidit quoque similiter in universis partibus speculi, quae sentiuntur per basem visibilis pyramidis. 8i enim existimaTerimus, quod superficie^ adg , cum volvitur dica azem bd, cohstituat pyramidem, erit quod videbitor in tota fiuperflcie speculi forma aspicientis , quae est una, et vide- bitur penes superficiem. Radii enim qui protrahuntur a puncto d ad superficiem speculi, et perpendiculares quae inde super eos a speculo re&inguntur, conveniunt in loco onmibus communi et superficiei , de qua flt reyerberalio, et haec superflcies est illa quae terminat loca forniae. Universaliter autem flt reverberatio in huiui^modi speculis a circulo secundum hanc positionem. Describatur circulus abgd {fig.31),cm\iB diameter sit h$d, et signentur super hed duo pimcti ez lateribus punoti $, qui est centrum, et sint x,h, sitque ex sicut eh, et transeat per punctum e diameter erectus super diametrum 6ed ad rectoi angulos» et sit aeg, et copulentur lineae xa, ah. Quoniain ergo xe est sicut e Ay et linea ae est communis, et anguli qui sunt penes e recti, erit angulus zae sicut angulus eah. Erunt ergo lineae ah, ax refracti ad aequales angulos. Similiter etiam re&ingitur a puncto g, et si opinati fuerimus ahgd sectio- nem esse circuli, qui est in concavo speculo, et quod superflcies axh volvitur circa diametrum hd, punctum uti- que a , describit in speculo circulum , et refringuntur omnes radii, qui procedunt super hunc circulum simili refractione qua refringuntur iah. . 99 Rursus si posuerimus ze {fig. 38), maiorem qviSmeh, dicimus impossibile esse radium refriugi a puncto a ad punctos 1, A ad aequales angulos. Quoniam si diviserimus lineam m in puncto t aequalem lineae eh, et copulave- rimus ta, erit angulus eah sicut angulus eat propter ea quae demonstravimus; angulus vero eaz maior est angulo eah; impossibile est ergo refringi radium a puncto a. Rursus dicimus quod impossibile est illum reMngi a punoto inter a, d {fig. 39) ut a puncto k. Gum enim co- pulaverimus lineas hh, ke, kx, quoniam anguli ekh, ekz, debent esse aequales, erit proportio ze bA eh sicut pro- portio kz ad kh, sed ze maior. est quam eh; «rit ergo zk maim quam kh, maior videlicet quam maior, quod fal-; sum est. Npn ergo refringitur inter z, h ^ puncto k radius ad aequales angulos. » Yolumus demonstrare quod in circumferentia existente inter punctos a, b esi punctus, a quo fit reverberatio ad aequales angulos. Ita videlicet ponatur proportio augmenti ze super eh ad eh, sicut proportio zh ad lineam quae sit maior quam hb \xi kh, et protrahatur linea kl tangens circulum abg in puncto l, et copulentur lineae lz,lh. Di- cimus ergo quod hlz reMngitur ad aequales angulos. Transeat per pimctum e linea in men aequidistans lineae kl, et iungatur linea Ih cum producta fuerit in n» et copuletur el e% dividatur et sicut eh. Quoniam ergo proportio zh ad kh, sicut proportio zt ad et, quae est sicut eh,et permu- tatim erit proportio kh ad eh sicut proportio kz ad ze; sed proportio kh ad eh, est sicut proportio kl sA en, et pro- portio kz ad ez sicut proportio kl ad em; erit ergo pro- portio uniuscuiusque linearum em,en una et eadem, sunt igitur aequales. Linea autem le est communis, et duo an- guli utrorjim triangulorum, qui sunt penes e, sunt recti, 100 guoniam angulns hle rectus est. Erunt ergo anguli etn, eltn aequales. Item si non fuerit proportio, sicut diximus, sed pofeueri- - mus proportionem xt {flg. 44) ad te sicut proportionem xh ad 5/i , dicimus guod non refringitur a puncto qui est inter punctos a, 5, ad sh radius ad aeguales angulos; guod si possibUe est» refringatur a puncto I. Si ergo copulaye- rimus in simili praepositae flgurae lineam Ih, et protraxeri- mus lineam aeguidistantem lineae Ib, et fuerit men, mani- festum est per ea guae exposuimus, guod me esX sicut ne; guia ergo angulus mlh divisus est Ib duas partes aeguales per lineam le^ erit ml sicut In, et linea le est communis; anguli Teroy guos continent aegualia lateia, sunt aeguales, et ideo anguli mel, len erunt recti, et angulus hle erit re- ctus , guod est impossibile. Erit autem magis impossibile» si punctus, gui est terminus lineae, in gua est proportio, fuerit inter punctos 5, K Manifestum est ergo generaliter guod si ex (/I9. 43) fuerit maior guam eA, et proportio kz 2A ze sicut pro- portio fcA ad eA in universis speculis concavis, gui con- stituuntur super centrum e et per distantiam maiorem guam eA et minorem guam eh^ debet reMngi inter 2, A ra- dius ad angulos aeguales a meta communi speculo et cir- culo constituto super diametrum ke, Esto igitur punctus super lineam k h, videlicet b , et describatur super centrum e per distantiam eb sectio circuli, et sit ahg, ezistentis in speculo concavo, et secet medietatem circuli hl e in puncto 2. Dicimus ergo, guod reverberatio erit inter pun- ctos z, h SL puDCto l ad aeguales angulos; guoniam cum copulaverimus lineas kl, el, erit angulus kle rectus, guia est in medietate circuli kle, et guia est penes circumferen- tiam circuli abg, et linea kl tangit circulum ahg, cum sit 101 erecta super lineam el, guae procedit a centro e ad rectos ang^los. Mauifestum est ergo, quod unusquisque radiorum duorum , qui procedunt a puncto contiguationis ex punctis X, h, reMngitur super alterum ad aequales acngulos sicut zle, $lh; et oportet ex his quae diximus, ut si Ih fuerit perpen- dicularis super •e&, linea utique zl tangat circulum kte in puBCto /,.et angulus zlh maior sit universis angulis, ex quibuB flt reverberatio. Sit enim centrum circuli kle pun- ctus t, et copuletur linea It; quia ergo et est sicut tl, etit angulus tle sicut angulus tel, sed angulus tel est ftequalis, eo quod ex angulis Ize, elz, angulus ergo tle est aequalis angulis ezl, elz in simul, et angulus elz sicut angulus elh; restat ergo angulus tlh sicut angulus Izh^ fltque angulus hlz conununis; erit ergo totus angulus tlz sicut anguli. ezl, zlh simul. Si hi duo anguli simul fiuut sicut angulus rectiis , quoniam angulus , qui est penes h, est rectus, et angulus ergo tlz esi rectus, et linea Iz tangit circulum kle; angulus ergo %lh maior est consorte de angulis, ex quibus fit reverberatio. Quod igitur cum reverberatio fuerit a quolibet loco de quaUbet medietatum circiili ad aequales angulos, impossi- bile est illam fieri ab alio loco de medietate circuli; mani- festum erit hoc modo, videlicet, si possibile est, refringan- iur radii y{, Ih, %s, sh (fig. 43) , et copulentur lineae el, es. Quoniam ergo utrique anguli divisi simt per duas medieta- tes, erit unaquaeque, de proportione zl ad Ih, et proportione zs ad sh, sicut proportio ze ad eh, et erunt aequales, et permutatim erit proportio zs ad zl sicut proportio sh ad Ih: sed linea zs est miuor quam linea zl, linea ergo sh erit minor linea Ih, quod est falsum. Similiter etiam demonstra- bitur quod diximus , et in alia medietate circuli , quia si re&ingetui^ nidius ad aequales angulos ut a puncto /, et ar- 102 bitrati fuerimus puDctum b esse super sectioDem circuli in concavo speculo, et superflciem hlz volutam esae circa diar metrum db, ab omnibus utique partibus circuli constituti per circumscriptionem puncti l reiringetur radiua ad ae- quales angulos inter punctos zh, et erunt figurae rerom videndarum in huiusmodi loco super speculi superfiiciem. Linea enim quae procedit a re videnda et tranait per visum et pervenit ad speculum , est perpendicolaris super speculum; et ideo coniunctio linearum, ad quam flt forma , semper est super ipsum visum , sive exUti- maverimus visum esse penes punctum z , sive penea h. Cum autem difflcilis sit aspectus ad hunc locum , vartitiir sensibilitas ad superflciem , de qfia flt reverberatio, et ita attingens speculum suscipit formam a loco suo, ubi foerat mutuationis modo. Similiter etiam et locum in quo apparet, et ideo colores huiusmodi figurarum cum fuerint in magna distantia, aut non habebunt inter se et colores speculorum diversitatem, aut exigua flt inter eos diversitas. Cum enim consideratio eorum non flt in proprio loco, et visus debilis sit inve- niendi locum eius , vertitur ad locum propinquiorem spe- culo, qui est ille locus, quo apparet. Decet autem nos post haec considerare loca , in quibus ea quae videntur , flunt ex tribus reverberationibua ab una sectione, cum visus fuerit super punctos praedictos. Esto circulus abg {fig. 44), cuius centrum sit d, etproducatur aeg, et protrahatur perpendicularis deb,ei ponatur aectio abg in speculo concavo, et sint super lineam aeg duo pun* cti, quorum alter sit z et alter h, ita quod circulus, qui describitur super eos et super punctum d, sit ut drcidus td^, secans unamquamque de circumferentiis ab, bg, et protrahantur lineae dzl, dhm, et ponatur priua z$ aicut 103 eh. Didmus ergo, guod reverberatio flt ad aequales angulot a tribus punctis , Tidelicet a puncto b et puncto t et puncto k. Refringantur ergo radii zb, bh; xt, th; zk, kh, et copulentur lineae td, kd; guia ergo ze est sicut eh, et linea eb est communis, anguli autem, qui sunt penes e, recti, erit angulus ebx sicut angulus ebh; angulus ergo ztd sicut angulus dth,ei angulus dkz sicut angulus dkh; drcnmferentia enim dz est sicut circumferentia dh, et pnncti t, k sunt super lineam drcumdantem circulum. Di- cimus autem, guod alius radius non refringitur a puncto ezistente inter punctos {, m de circumferentia Im, guoniam onguios gui iunt penes punctos I et k super circumfe* rentiam circuli kdt, subtendunt circumferentiae zdeidh, ei ideo flt rererberatio ex his duobus punctis. Ule vero gui est penes b, refringitur, guia linea bd secat lineam ug ad aeguales angulos. Uli autem gui flunt inter I et in praeter tres punctos praedictos, non refringuntur, guoniam nec fiunt super circumferentiam' circuli dtk, nec super centrum eius. Illi vero gui refringuntur inter al vel gm, manifestum est guod non habent aeguales angulos, guo- niam non continetur centrum d inter m autem et l, Si possibile est, re&ingatur in praetaxata flgura radius inter punctos t, b {fig. 45), et sit znh, et radius inter pun- €t08 k, m, et rii zsh, et producantur lineae donf ei dqcs, ei copulentur lineae zs, zn ei lineae nh,sh, Quia ergo cir- cnmferentia dz est sicut circumferentia dh, erit angulus zfd sicut aUgulus dfh, et angulusjrcd sicut angulus dch: angulus autem znd fuit sicut angulus dnh, ei angulus zsd Bicut angulus dsh; erunt ergo anguli trianguli znf sicut anguli trianguli hfn, et anguli trianguli esz sicut anguli trianguli sch, et latera fn, se sunt communia. linea ei^ zn est sicut linea hn, ei linea zs sicut linea 104 $h; angulos vero, gui sunt penes n et 5, dividunt lineae nod, sqd in duas medietates; linea ergo xo est sicut Ilnea oh, et linea zq sicut linea^A; unumiittodqtie vero istorum est impossibile ; linea enim %e fuit sicut linea ek. Similiter etiam demonstrabitur non posse fieri reTerbera- tionem inter b ei k negue inter t ei k Fit etiam reverberatio ex tribus locis, quamvis linea ez sit maior guam linea eh. Secet itague circulus tranBiens per pimctos zdh (fig, 46) unamguamgue circumferentiaram Ih, bm. Non ergo refringetur a punctis t, k radius, sicat iam ex- posuimus, guoniam circumferentia dx maior est quam eir- cumferentia d A » nec refringetur a puncto h, guoniam se nlaior est eh, et duo angulipenes e sunt rectL Sed viee dua- rum reverberationum, guae fiebant apunctii b,k^ refrin- gentur duo radii a circumferentia, guae est inter punctos b,k,ei vice reverberationis existentis a puncto I, refiringe- tur radius inter punctos It, guoniam non refringitur radius a circumferentia guae est inter teib, negue ab illa quae est inter k et m. Si enim poneretur reverberatio inter aliguam istarum circumf erentiarum , accidit inde impo»- sibile , guoniam cum anguli zsd, dsh aint aegualeSy et anguli znd, dnh, et propter hoc anguli %nf, fnh aint aeguales, et rursus angulus zfn sit maior angulo nfh^ et angulus zcd maior angulo hzd^ eo guod circumfe- rentia zd maior est guam circumferentia dh, sitque pro- pter hoc angulus sch maior guam angulus scz , erit inde %n maior guam nh, et erit ^A maior quSam zs et erit inde angulus zhn maior guam angulus nzh, et angulus szh maior guam angulus shz, et remanet angului nok minor angulo noz, et angulus $qs minor guam angaiuB sqh, obtusi minores guam acuti , guod est impossibile, 8i autem posuerimus reverberationem a circumferentia qoae 105 est inter l et t, aut ex ea quae inter b,k,et demonstrabi- mu9 iUud in figura simili modo, non accidit impossibile; aBgttli enim obtusi debent esse maiores, si posuei*imus figuram in hoc statu. Ne igitur sermo super boc prolongetur , debemus di- cere guod cirpulus stdh {fig. 47) nisi secaverit aliam cir- com£Brentiam guam bm, et transducetui> p\mctus z in locoa, sectmdum quod in praesenti flgura, vel transdu- cetor extra eam, reverberationes utigue guae fiunt ad ae- guales aDgulos a punctis b,k, ejrunt ex duobus locis taur tom inter betk, si praetermiserimus circumferentiam tl, quoniam circumferentia ab tota erit infra circulum dzh, et demonstrabitur simili modo, guod non refringitur ali- guis leliguomm radiorum ad aeguales anguios. Si autem poeoerimus circulum zdh (fig, 48) secantem circumferen- tiam Ib solam^ locus utigue alterius sectionis si fuerit fiuper punctum b, sicut in praesenti figura, aut fuerit inter punctos a,b ^ reverberatio fit inter punctos t,l , guoniam droumferentia bk decidit» et sic non fit inde reverberatio ad aeguales angulos;. circumferentia enim bg erit extra circulum. Demonstrabitur etiam secundum ea guae prae- posuimus, non fieri reverberaUonem ad aeguales angulos praeter in puncto guem diximus. Accidit etiam prope id guod dictum est, cum circulus zdh {fig. 49) non secaverit circulum abg, et fuerit pun- ctus e inter punctos z, h; fit enim una tantum rever- beratio ad aeguales angulos. Esto circulus zdh non se- cans drculum abg, sitgue prius ze sicut eh. Manifestum est ergo ex his guae praeposuimus , guod reverberatio erit a puncto 6 ad aeguales angulos ; et iterum mani- festum erit , guod non fit refractio a circumfefentiis al ot 0^. Ouod autem impossibile sit fieri refractionem a 106 circumferentia, guae est inter l,b, et illaguae est inter b eX m, demonstrabitur sic. Si quidem possibile est, re* fringatur ut zt, th. Cum igitur protracta fuerit lihea dknt, et copulabuntur lineae zn, nh, quoniam anguluB znd est sicut angulus dnh, eo quod circumferentia dz est sicut circumferentia dh, remanet angulus znt sicut angulus hnt. Erat autem angulus ztn sicut angulus dth; trianguli ergo znt, tnh aeguales angulos habent, et li- nea tn est communis; zt ergo est sicut th, e% erit inde zk sicut kh maior sicut minor, quod est impossibile. Similiter etiam demonstrabitur, si ezistimaTerimtui re- verberationem fleri inter punctos {, b. Sit itaque ze (fig. 50) maior quam eh, et dividatur zh per duas medietates in puncto (, et protrahatur linea dt 9A k. Dicimos ergo, quod reverberatio non flt nisi inter punctos Jk, 2 ab uno- quoque punctorum z, h ad alterum. Saepe enim demon* stratum est, quod non flt a circumferentia al neque a circumferentia ^m, et demonstrabitur iterum per hanc figuram, impossibile esse fieri reyeri>erationem inter pun- ctos b,m; debet enim ex his linea eh, quae est minor, esse maior quam linea ez, quae est maior ea. Nec pos- sibile est fleri reverberationem a circumferentia kh ad aequales angulos, quoniam si reverberatio posita faerit penes punctum k, fleret angulus ztk sicut angulus htk, acu- tus sicut obtusus ; et si fuerit posita penes punctom h , fleret angulus zeb maior angulo heb, cum utrique sintre* cti; et si reverberatio fuerit posita inter kb, fleret angulas acutus maior obtuso , et haec omnia sunt impossibiiia. Et si existimaverimus reverberationem , quae flt ad aeqoales angulosy esse inter l ei k, accidit inde illud quod dd)et accidere. Sit igitur reverberatio vXzn,nh,ei protrahatur dpon, et copuletur oz ei oh; quoniam ergo angolus sii^il 107 erat sicut angulus dnhf et angulus zod maior angulo doh, et circumferentia zd maior quam circumferentia dh; reliquus vero angulus noh maior angulo reliquo noz, erit linea nh maior quam zn; erit ergo linea ph maior quam linea pz, quod ita est, et augulus nzh maior quam angulus nhp. Remanet ei^o angulusnp/i obtusus, maior angulo npz acuto, quod sic debet esse. Rursus esto circulus abg (fig. ii) constitutus super cen- tmm df et protrahatur linea bd, sitque ad rectos angulos super lineam aeg, et ponatur sectio circuli abg-in concavo speculo; alter vero punctorum sit in loco z, et alter in loco e. Oicimus ergo quod nonnisi una reverberattio tantum flt inter punctos e, z de circumferentia a&^ ad aequales angulos. Dividatur igitur ze per duas medietates in puncto h, et pro- ducantur lineae dhk, dzt. Radii ergo, qui procedunt ad «iicumferentias at et bg, non continent centrum d, et si posuerimus reverberationem a puncto k, anguli erunt inae- quales. Quod si ita non est, sit reverberatio veluti zk, ke; quiaergo zh estsicut eh, etlinea ek sicut kz, proportio enim alterius ad alteram sicut proportio consortis eius de duabus lineis zh, eh ad alteram, eo quod angulus zke divisus est in duas medietates per lineam kd, et linea hk est communiSy angulus khz erit sicut angulus khe acu- tu8 sicut obtusus , quod est impossibile , et erit magis impossibile , si posuerimus reverberationem inter punctos ^, k; angulus enim acutus erit tunc maior quam obtusus. Si vero posuerimus reverberationem inter punctos t,k, flt e converso; angulus enim obtusus erit maior acuto, nec aliter acddit. SimiUter etiam demonstrabitur impossibile esse a duo- bus punctis simul inter punctos k, t (fig. 52) duas reverbera- liones fleri per aequares angulos ad punctos ez; ita videli- 108 cet si possibile est, refringantur in simili praedictae figurae duoradii emz, eoz, et producantur lineae ad punctos i, l, f,n, et copulentur lineae do, dm, sitgue reTerberatio ad aeguales angulos. Quia ergo dz est maior guam ed, linea guae per mediiim dividit angulum edz secabit ez inter e» A. Erit ergo propter hoc angulus edo multo maior angulo zdo, et ideo et guia angulus eod positus est sicut an- gulus zod propter reverberationem , erit guod exduobus angulis edo, eod, guod est sicut angulus defmains goam id guod ex duobus angulis zdo, zod, guod estsicutan- gulus dzs, sed angulus def est acutus, angulus ergo dzf rursus erit acutus. Gum autem produxerimus a centro i perpendicularem dq super mzl et perpendicularem dcr super ozs secantem ml mc, erit propter rectitudinem an- guli q linea dc maior.guam dq, et erit inde dr multo maior guam dq; eritigitur angulus zma, gui est sicut angoluB bme, maior guam angulus zoa, gui est positus sicut aof gulus eob. Oportet ergo propter hoc, ut men sit propinquior centro d guam oef, guod falsimi est; angulus enim den est acutus. Non ergo refringuntur radii zoe, xm$ ad ae- guales angulos. Item sit circulus abg {fig. 53) , cuius centrum sit d, et protrahatur linea bd, ei producatur linea secans eam ad rectos angulos, et sit aeg, sitgue sectio circuli abg in concavo speculo posita, et ponatur unusguisgue duo- rum punctorum secundum rectitudinem lineae a^, tan- tum alter eorum non sit infra circulum. Dicimus eaEgo, guod nonnisi unus radius refringitur inter eos ad aegua^ les angulos a circumferentia abg. Siguidem distantia ipso- rum punctorum a puncto e fuerit aegualis , reverbeiotio utigue flt ex uno puncto gui est b, guod manifestum esl; guoniam duae lineae, gUae protrahuntur ab ipsis punctis 169 ad b, dividunt de circulo aequales circumferentias. Si ergo alter punctorum fuerit super punctum a, et alter in pun- cto z, qui est super lineam eg productam , non refrin- gituf a circumferentia bg radius ad aeguales angulos. Gircumferentia enim ab cum sit sicut circumferentia bg, facta est circumferentia, quam dividit linea, quae copulat punctum a et unum de punctis super circumferentiam bg existentibus , maior quam circumferentia quam dividit linea quae copulat ipsum punctum z; a circumferentia Tero quae est inter a^b, possibile est radium refringi ad ^equales angulos ut ah, hz, et possibile est tunc circum- ferentias ah, ht esse aequales. Nec possibile est ab ista circumferentia alium radium refnngi, altera ^nim dua- rum linearum, quae copulat praedictos punctos et alium puncttim praeter h, dividit circumferentiam maiorem quam unamtpiamque duarum praedictarum circumferentiarum ; altera yero dividit circumferentiam minorem illius. Si- mile etiam accideret, si punctus a esset extra circulum, et linea ex esset maior linea ea. Hae itaque species, quas dinmus de positione, sunt, in quibus incidit linea , quae copulat aspectum et rem vi- « dendam inter speculum et centrum sphaerae. Nunc autem decet nos exponere ea, quae sunt de. re- verberationibus , quae flunt ad aequales angulos, et de- monstrare quod in quibusdam impossibile est fleri con- iunctionem duarum line&rum, penes quas diximus fleri fbrmam rei videndae ; in quibusdam quoque fieri parte illa, qua est sj^eculum ; in quibusdam vero fieri con- itinctionem retro aspicientefti. In quibus enim linea , quae refringitur a speculo ad rem videndam, fueritsicut linea, quae copulat rem videndam et centrum sphaerae, oportet necessario, ut radius refractus exiens ab aspi- 110 ciente ad speculum, et perpendicularis cadens a re vi- denda ad speculum sint aecpiidistantes. In quibus qiioque duae lineae praedictae fuerint inaequales, cum fuerit linea quae copulat centrum sphaerae et rem videndam maior li« nea refracta, locus utique coniunctionis , quam dizimus, erit ibi in illa parte, qua est speculum; sed cum radius refractus fuerit maior linea , quae copulat ceninun et rem videndam, coniunctio ipsa erit retro visum. Esto sectio circuU in concavo speculoy et sit abg {fig. 54), cuius centrum sit d; et cum fuerit visus positus super pun- ctum e, constituatur reverberatio ad aequales angulos» sicut ebfbz, et protrahatur a pimcto d linea d/i, ita ut sit sicut h b. Similiter protrahatur a puncto d linea d I , ita ut sit maior quam tb, ei rursus protrahatur linea dx, ita ut mi- nor quam xb, sintque res videndae x, h, t, et sit unaquae- que linearum, quae fuerint productae ab e ad res videndas, cadens inter centrum sphaerae et speculum, ut ex. Didmug ergo, quod dh aequidistans esieb,eidt iungitur ei in illa parte , qua est speculum, et quod di iungitur. ei retro aspicientem. Quia igitur dh est sicut bh, erit angulua dbhp qui est sicut angulus dbe, aequalis angulo dbh: eritergD angulus bdh sicut angulus dbe; erit igitur linea e6 aequi- distans lineae dh. Rursus cum linea bt sit minor quam dt, erit angulus bdt minor angulo dbt, qui estsicut an- gulus dbe; lineae ergo eb, dt iunguntur in parte punoto- rum btf qui sunt in illa parte, in qua est speculum^ quoniam bx semper refringitur ab altera partium lineae bd. Similiter etiam cum angulus bdx fuerit maior angulo db%, qui est similis angulo dbe, debent utique convenire lineae be, dx in ea parte, qua sunt puncti «, d, et est ma- nifestum quod coniunctio fitretro aspicientem, quoniam xe est inter b et d. 111 Et manifeBtum erit universaliter cum bis quae dixi- mus , quod si res yidenda fuerit super perpendicularem cadeutem super speculum , et portio quae dividitur a parte centri , non fuerit maior quam medietas lineae , quae procedit a centro sphaerae ad superflciem eius, re- fractus Tadius erit maior quam linea quae copulat pun- ctum d et rem videndam. Esto igitur circumferentia circuli, videlicet ahg (fig. 55), cuius centrum sit d, et producatur perpendicularis 6d, et dividatur per duas medietates in e, sitque res videnda in e. Erunt ergo omnes lineae productae ab e ad circumferentiam maiores quam eh, quae est sicut tdt et erunt multo maiores quam ecf, si fuerint productae ipaae lineae ab alio puncto de his quae sunt inter e et d. Cum autem res videnda fuerit posita inter e et b, possi- bile est protrahi inde ad circulum quandoque lineam aequalem lineae, quae est inter eam et d, quandoque vero maiorem et quandoque minorem. Et si fuerit protracta linea zht secans db ad rectos angulos, eX zt fuerit latus quadrati, ita ut zh sit sicut dh\ et fuerit circumferentia xfr{,>quae est quarta pars circuli comprebendens totam la- titudinem speculi , et protrabentur lineae ab aliquo pun- ctolnmi signatorum super lineam Afr ad circumferentiam, quae est inter z et t; erunt utique minores quam lineae quae cadunt inter punctum d et punctos signatos. Cum autem praedictae duae lineae rectae fuerint aequidistantes, et forma peaitus non babuerit locum terminatum quo vi- deatur, decUnat tunc visus ad locum communem formae et speculo, sicut accidit iterum, cum duae praedictae rectae li- neae iunguntur, de quibus diximus formam videri retro vi- sum; sed cum locus coniunctionis fueritinillaparte^quaest speculum, loca formarum consefvant metam eis propriam, apparent enim in parte speculi ; sed cum distantiae fuerint 112 immoderatae , coartantur semper ad propinqoiorem rem, et cum locus coniunctionis fuerit retro yisum, res vi- denda non yidetur retro visum. Impossibilis est enim huiusmodi opinio, sed videtar ante speculum, (piamvis passio guae accidit in sensu, non ostendit formam in pro- prio loco suo, sed ducit ad locum guo non est ei ritos propriusi sicut in praecedentibus dizimus; guoniam situs cui non attribuitur locus proprius, ostendit subiectam rem in ipsa superflcie speculi. In situ autem gni habet proprium locum, flt secundum positionqpi eius a ▼iaa, et secundum hoc flt forma in speculo, videlicet res, goar rum formae fuerint post yisum et post speculum, vidaitar post speculum, et guae sunt retro yisum, apparent formae earum ante speculum. Possibile est autem nobis perpendere has spedes, guas diximus de situ , unamguamgue utigue semotim. 8i in praetaxata nobis planca protraxerimus, sicut protrazimus in flgura guae hanc praecedit, lineas eb {fig. 56) goidem et xb 9d aeguales angulos, dh yero aeguidistantem eb, et protraxerimus ed%, et posuerimus yisum super e; con- cavum autem speculum posuerimus super drcumJiBxen- tiam abg, et nitemur aspicere formas magnitudinum par- yarum coloratarum positarum super linea bs, foxma utigue magnitudinis positae super z aut h yidebitor guasi continua in loco speculi , in guo est b , et habebit pod- tionem et colorem iliius. Formae enim rei positae super g aut h nuUus est situs in proprio loco terminato. Hlod guidem guod est super h, non^habet locum conionctio- nis proprium ; illud yero guod est super %, habet locom communem sibi et yisui , cum sit coniunctio in puncto 4. Quorum autem situs est inter haec duo loca, non appa- rent formae «orum super ipsum speculum , cum sint eis 113 loca ierminata, &ed id quod est iiiter b et h, appar^t eztra speoulum . in ioco coniunctionis ; guod autem est inter A et ^, apparet ante speculum propter causam guae ei cojayenit. Si enim protraxerimus lineam be^.ei lineas dkt dz^ et fuerit coniunctio penes punctos e et t, forma puncti z erit super punctum b, et secundum hoc forma coniunctionis, qua fit penes punctum t, apparebit yersus k, qui est ante b versus d, quoniam silus / ad e est yersus istam partem. Ppssibile est etiam nobis generaliter iptelligere baec cum ep quod est de congregatiooe et declinatione, quae fiunt in situ coniunctionum > quas diximus devenire ad propinquiorem locum , cum fuerit speculum sicut e2;:po- suimus» et protraxerimus lineam bde (fig^^l), ei posue- limtts quamlibet magnitudinem longam subtilem super bd, utpote bz. Si enim posuerimus alterum oculorum super punctum e, et aspexerimus ad &j?, yidebimus fqr- mam eius continuam cum puncto b a speculo^ et ^rit inter dua^ aequales distantias de superiOicie speculi, et quod imaginabitur aspiciens de compositione magnitu- dinis et formae, assimilatur buic figurae {fig, 57a), quae.est composita ex linea bz et circumferentia abg; quoniam oum visibilis radius refringitur ad magnitudinem 5:;/coniunctio in qua fit locus formae, non babet locum terminatum, sed eritinloco puncti e, ubi et visusj et videbuntur formae, quae in speculo sunt, continuae; et si id, quod est super- cili.a, fueritin loco e, et oculi fuerint positi in h et in t, forma 64? curvatur ad partem speculi, et donec fu^rit 10 moderata distantia , apparebit ante oculos , et ^postea vertitur paulatim ad unumquemque oculorum secundum formam literae, quae apud Grraecos est alpba, et talis est ifig. blb) et non cessat quousque pervenerit ad radios visus 8 114 aequidistantes lineae eb, et postea vertitur inde versus spe- culum. De radiis enim , gui procedunt ab /i et refringuntur ad br, una fit linea tantum aeixuidistans praedictae lineae, ut linea kh, De reliquis Tero illae, guae sunt inter punctos b ei k, iunguntur lineae db versus speculum, ita quod cum omnes fuerint protractae, iunguntur ei utpote lineae hm, hn; illae vero quae cadunt inter a et A;, iunguntur ei retro visum, veluti lineae sh, oh. Quod autem flt in eis de translatione distantiarum est boc. A coniunctione qui- dem quae fit in puncto n , transfertur forma versus f: in reliquis vero coniunctionibua accidit prope hoc, ut decet secundum rationem, quousque perventum fiierit ad lo- cum aequidistantem lineae em, et erit constitutio fonnae super mfl, et inde erit reversio formae propter debilita- tem visus , qui opinatur res secundum aeqoidistantiam positas, esse infinitas, et putat quod longitudo coniunctio- nis quae fit in rebus, quae succedunt illis, quae sunt propinquae aequidistantibus, extenditur quousque fiat in- comprehensibilis, si etiam attingeret pleiades aut qualem- cumque distantiam, utpote quidam opinantur. Visus ergo propter hoc vertitur ad terminos moderatos, et quia.de coniunctione quaedam fit retro visum, res autem videnda est ad invicem continua, oportet necessario formas rerum esse similes in speciem. De coniunctione autem quae flt post /, semper erit reverberatio prope speculum, ut linea Iso, quoniam pars magnitudinis, quam comprehendit li- nea kh, quae est aequidistans lineae mbjar, si esset sola, vi- deretur utique in puncto k; illa vero quae videtur per ra- dios sh et oh, quoniam coniunctio ipsorum radiorum cum linea be tLi retro visum, videbitur penes speculum, uiq et r. Illud vero quod videtur de magnitudine poeita super lineam kqe, non ita disponitur in eo quod apparet, quia 115 son est in loco terminato nec segregatum ^ fonna fnfl; sed videtur ei coDtinuumy quamvis sit infra speculum, ne continuum existimetur esse disgregatum. Gum igitur coh- iimctio guae flt versus speculum, sit terminiata in puncto /, potenti& transfertur positio k ad punctum'^, ut iungatur residao forma, et flat secum continua, videlicet lineae Iso, quae translata est ad eandem partem, et habebit formam seoundum mensuram transitus kqc, ut convertatur ad id quod . est propinquius transeunte forma » quae proprium locum Bon habet ad convenientiam irei terminatuffl locnm habentis. Ne itaque repetamus sermonem, dicimtis qilod in altero latere similiter accidit ex lineis, quae proceduni a puncto I ad circumferentiam 6^, cum visibilis radius fuerit constitutus ibi secundum lineam mpr, quae est similis lineae mlo. Gum igitur haec determinata habeamus , demonstre- mu8 postmodum quod ad punctum e non flt nisi una reverberatio ad aequales angulos, cum fuerit positio, sicut dictum esL Esto sectio circuli in- concavo speculo, etsit abg, ifig. 58) » cuius centrum d, et protrahatur linea bd^. Dicimus ergo, quod si visus fuerit super eb, et non fuerit in puncto cf/refringitur radius eius in se ipsum a puncto b, quod est manifestum; anguli enim, qui sunt penes 6, sunt aequales; illi vero radii, qui refringuntur ad punctufm iiiter b ei d, vel inter d ei e sl puncto existente inter d et b, vel inter b etg, non cadunt ad aequales angulos ex aliquo latete cenlri d, ut eh, hz. Constituunt enim angulc», qiios continent ex utrisque lateribus inaequales, vel ut angu- lum bhe, qui est maior angulo ahe» £t rursus quoniam res ita se habet , sicut prius exposuimus , quod cum radius, qui refringitur ad punctum x, transierit per punctos b,e, forma utique visus apparet in ipsa superficie speculi versus 116 Bpeculum ; declinat enim forma , ut dizimus , ad unum de lods , in quibus flt coniunctio , qui est communis ei et speculo, et est punctus b. Debemus etiam demonstrare , quod universaliter cum fuerit centrum sphaerae inter speculum et lineam , quae copulat visum et rem videndam, fit ibi reverberatio ad aequales angulos ab uno loco tantum. Eaio itaque sectio circuli in concavo speculo abg (/t^. 59), et centnim oir- culi df et producatur linea bde^ quam secet linea hez ad rectos angulos, et sit alter punctorum m et alter h, et sit prius ez sicut eh. Dicimus ergo, quod inter punctos Mh non fit reverberatio ad aequales angulos , nisi a puncto b tantum. Gopulentur itaque bz,bh. Quoniam ergo lineae eb, ez sunt aequales utrisque lineis eb, eh, unaquaeque vi- delicet consorti suae , et anguli penes e sunt recti , ha« bebunt utrique trianguli aequales angulos ; erit ergo an- gulus bze sicut angulus bhe, et angulus zbe sicut angulns hbe. Et si possibile est, refringatur alia linea ad aequales angulos ut zth, et protrahatur iinea tdk. Quia ergo an- gulum ztk divisit linea kt in duas medietates, ezit pro- portio kh ad kz , sicut proportio l^ ad tz , sed kh est maior quam kz; erit igitur th maior quam tz, et erit inde angulus tzh maior quam angulus thz. £rit ergo an- gulus bzh multo maior angulo bhz, quod non debet ita esse; iam enim demonstravimus illos esse aequales. Non ergo refringitur tz, th ad aequales angulos. Similiter etiam manifestum erit quod diximus, si posuerimus aiiam lineam qualemcumque. Item constituatur similis praepositae figurae, et sit eA {fig. 60) maior quam ez, et protrahantur lineae zdt, hdk; dividatur linea zh per duas medietates in puncto l, et angulus zdh in duas medietates per lineam dm, et sit 117 ez sicut eCyei protrahantur lineae Idn, mds, eds. Dicimus ergo^ quod reverberatio radii inter z, h ad aeqaales angulo8 refracti erit inter pnnctos n, s, nec refringetur a cireum- ferentia ka et circumferentia gt radius ad aeguales angulos. Radius enim ab unaquaque earum refractus non continet centrum d. Demohstremus igitur prius, quod non refrin- gitur a puncto s: Si vero possibile est, refringatur ut zhs; quia igitar angulus zdm est sicut angulus hdm, erit an- gulus sdz sicut angulus sdh; &tb.% autem angulus zsd Bicut- aDguluis dsh; trianguli ergo xds, hds habent ae- quales angulos, et linea ds est communis ; linea ergo zd est sicut linea dh; erit igitur inde angulus dzh sicut an- gulus zhd^ sed angulus dzh est sicut angulus dcz, eo quod-aequalia sunt latera ee, ez, et utrique anguli penes e de ttiangulis eed, zed aequales, et propter communitatem habeM in angulo edh; erit ergo angulus zhd interior sicut angttlus dcz exterior, quod est falsum. Si yero posue* rimtis reverberationem ab aliquo puhcto inter s et t, ac^' cidil inagis impossibile; debet enim inde esse zd maior * quam dh, el linea mh, quae est maior, erit minor quain zm;, qiiae minor est, et angulus dhz interior maior quam angulus dzh, qui est aequalis angulo dcz exteriori, quod est impossibile. Sit igitur reverberatio , si possibile est, ut znh; quia ergo linea zl est ^icut linea Ih, erit zn sicut nh, et angulus nzh sicut angulus nhz. Restat ergo ahgulus nlJT, sicut residuus angulus nlh, qaoi est im- posslbile; et erit magis impossibile, si posuerimus rever* berationem inter k et n, ducit enim ad hoc, quod linea quae est minor quam zn, sit maior linea maiore quam nh', et quod angulus nlz, qui est acutior angulo nlh, sit maior angulo obtusiori quam angulus nlh; sed si fuerit revetberatio ad aequales angulos, cadet utique inter pun* 118 ctos s,n, nec iDde contiDgit aliquod contrarium his quae praeposuimus. Quod autem ab ista circumferentia non re- fringitur ad aequales angulos nisi unus radius, erit mani- festum sicut ezplicabimus; et ne fiat confusio in flgura, arbitremur utrosque punctos s, n esse super circomfiBreD- tiam, de gua diximus possibile esse fleri reverberationem ; «t si posfiibile est, refringantur ex eis duo radii ad aequales angulos. Erit ergo inde proportio xs ad sh eicut pro- portio zm ad m^, et erit proporlio *n ad nh sicut pro- portio zl ad Ih; sed proportio xi ad JA est maior qoam proportio sm ad mh; erit ergo proportio Mn adnh mator quam proportio zs Sii sh, et permutatim erit proportio *n did zs maior quam proportio nhadsh; sed nh maior est quam sh, eo quod est propinquior centro d; eiit ergo *n multo maior quam zs, quod est impossibile, qaoniam *s maior est quam *n, eo quod est propinquior ad cen- trum ; et si posuerimus n in puncto o, et e inter punctoa e, h, illud quod terminat circumferentiam, de qua fit revert)e- ralio, est linea quae copulat centrum» et medietatem lineae quae est inter utrosque punctos , et lineam quae dividit angulum, quem ista linea subtendit, in duas medietates, et qui ez his refringitur ad aequales angulos, est unus radius tantum. Item demonstremus nuncy quod in omnibus his prae* diotis speciebus positionis semper flt forma inter visum et speculum in proprio ei loco; perpendicularea enim quae procedunt a punctis x, A, et transeunt per centrum d, Bemper secant oppositum radium, qui est ille» per quem forma comprehenditur a parte speculi; et univer« saliter cadit super centrum d in triangulo» quem con- tinent zh, et radius refractus ut lineae *n, nh. Apparet enim in huiusmodi reverberatione, cum visua foerit po- 119 fiitus penes punctum z, tamquam si punctus h esset in puncto u; et ai posuerimus visum super punctum A, vi- debimus punctum z in puncto f^ et erit forma ante specu- lum inier visum et speculimi propter praetaxata pfincipia. Hinc eiiam accidit quasdam distantias breviores fleri et vi- dieii, tamquam si essent ad locum propinguiorem speculo. Neo erit utique in huiusmodi speciebus , quas exposui- mo&i reverberatio ad aequales angulos. Esto sectio circuli in speculo concavo, et sit ahg {fig. 61), centrum eius d, et protrahatur linea bde. Dicimus ergo, quod visus et res vi- 4enda-, cum diversi fuerint, et fuerint super lineam be re- ct&m^et punctus d non fuerit inter eos, non fit ad invicem rev«)rberatiD ad aequales angulos , sive sit alter eorum in puncto d^ sive non. Huius autem scientia facilis est, quia nullus inde refriugitur ad aequales angulos radius a cir- cumferentia, quae est inter a et fr^ aut inter b etg. Tunc enim radii non continent centrum d, a puncto autem b po- tentia tantum flt reverberatio, sed non actu^prohibet enim ireverberationem altera rerum positarum; si enim opinati fuerimus visum esse propinquiorem speculo, ipse est qui prohibet visibilem radium refractum a puncto b perve- siendi ad rem videndam, eo quod est in loco transitus ladiiet prohibet eum; et si existimaverimus rem viden- dam esse propinquiorem speculo, ipsa prohibet visibilem radium prorsus pervenire ad punctum b, eo quod res vi- denda posita est inter visum et b et tegit eum. Rursus esto circulus abg (fig. 62) , cuius centrum sit dp el producatur linea ag, et protrahatur ad eam per- pendicularis deb, et sit circumferentiaab^ sectio de cir- culo constituto in concavo speculo et de duobus pimctis, qui in praecedentibus flguris praetaxati sunt, alter qui- dem ponatur in puncto a, et alter in puncto e. Dicimus 120 ergo quod non fit inter eos reverberatio a circumferentia ahg ad aequales angulos ; et manifestum est quod nec reverberatio fil a circumferentia bg, eo quod imposBibile est radios inter eos refractos continere puncla.m b; a circumferentia etiam ab manifestum est non poBse inter eos reverberationem fieri ad aequales ang^los; si enim posset refringi ut az, ze, esset ulique circnmferentia ligz sicut circumferentia az, quod falsumest; circ^ferentia enim hgz multo maior est quam circumferentia Ma, eum .circumferentiae ab,bg sint aequales. Similiter etiam ma- nifestum non posse fieri reverberationem, cum alter pim- ctorum fuerit infra circulum super lineam ag et alter in e, aut fuerit alter punctorum in a, et alter inter a et e,- aut fuerit alter eorum eztra circulum, et alter inter a et e. Rursus constituatur circulus abg {fig. 63) , cuias cen- trum d, et producatur linea ag, et protrahatur ad eam perpendicularis deb, et sit circumferentia afr^ sectio cir- culi positi in concavo speculo , sitque alter punctorum intcr a et z ut punctus e, et alter inter e e% g nX pun- ctus X, et describatur circulus transiens per punclos a, d, z, et sit adz, et non secet circumferentiam bg, et pro- trahantur lineae ag, dzh, Dicimus ergo, quod a cireum- ferentia abh inter punctos az non refringitur radius ad aequaled angulos; a circumferentia quidem ab manifestum est non fieri reverberationem , sicut demonstratum eat in praecedenti figura, ex eo quod accidit de diversitate clr- cumferentianmi. Manifestum est autem neque a circum- ferentia ^h fieri reverberationem, eo quod radiua ab eodem loco refractus non circumdat centrum d, Sed nunc de* monstremus, quod non fit reverberatio a circumferentia, quae est inter b, h ad aequales angulos. Si igitur poBaibile 121 bbX, refringatur radius atz, et copulentur lineae tkld, ka^ kz. Ouoniam ergo circumferentia ad maior est quam circumferentia dz, erit angulus akd maior angulo dkz. Reslai drgo angulus zkt maior angulo akt; et si po8ue« nmas angulum tkz ut angulum tka, et lum propter hoc» tum quia anguli penes { aequales sunt, et latus kt est commaDe inter triangulos kta, ktz, erit utique tz sicut ta; erlt^quoque. tz maior quam ta; angulus ergo taz erit maior angulo tza. Propter boc igitur, et quia anguli penes t sunt acquales, restat angulus l/a obtusus minor angulo tlz acuto, quod falsum est. Non ergo refringitur a tz ad aequales angaloB. Similiter etiam demonstrabitur, quod si^punctus a eiset extra circulum, non accideret reverberatio. Unde leviler dignoscetur, quod cum impossibile sit refraetionem fieri ad aequales angulos inter res huiusmodi situm ha- bentes, V18U8 non comprehendit rem positam, nec forma erit rei, cum^non comprehenditur sensu. In his quidem quae: accidunt in speciebus refractionum et locis in qui- bus^fonnae apparent , sufficiant quae de distinctionibus eorum diximus. Po8t ba/sc autem oportet nos perscrutari omnes diyer- sitates rerum videndarum / unamquamque videlicet se- motim, et cuius forma est eztra speculum, et cuius esl inter speculum et aspicientem, non secimdum acddens , sed secmidum essentiam suam et vere. Forma ergo in concavis speculis cum fuerit retro spe- culum , erit distantia rei videndae minor quam distan- tiaJormae suae, si visus constitueretur retro speculum. Bsto sectio circuli , qui in concavo speculo, et sit abgd {fig. 64)^ cuius centrum sit e, et visus punctus z, res quoque videnda punctus h, ad quem refringatur ger ae* quales angulos radius zbh, et protrahatur ehgt, et iun- 122 gantur bx, he, cum productae fueiint eztra speculum, in puucto L Erit ergo forma h peues punctum t, Dici- mus igitur quod bz, bh in simul sunt minores quam zt; gh vero est minor quam gt. Copuletur eb ei proda- catur a puncto b linea tangens circulum, eisiikbL Eiit ergo angulus abz sicut angulus gbh, et angulus abk sicut angulus gbl; angulus ergo kbz totus, qui est an- gulus tbl, est sicut angulus Ibh, et angulus blh est acutos; angulus enim Ibe est rectus. Angulus ergo blh estminor quam angulus blt, ei cum posuerimus ang^lum blm sicut angulum blh, tam propter boc, quam quia anguli mbl, Ibhex triangulis mbl,lbh sunt aequales, et latns bl eBteiB commune, erit mb sicut bh; bh ergo est minor quam bt, et cum posuerimus bz inter has communem, &ixb, bh si- mul,minor quam zbt; et quia proportio Ih ad It eicat pro- portio bh aii bt, et bh est minor quam bt, erit /Aminor quam /{, et erit gh multo minor quam gt. Et maniCestum est cum his quae diximus, quod rerum, quarum distantia ab eodem visu augetur, aut quarum distantia maior eet, di- stantia utique formarum a visu augetur, aut erit distantia earum maior. Cum enim protrazerimus bh ^i s, ei pro- traxerimus es, quousque obviaverit zbt producto in pun- cto n, erit forma s in puncto n, et erunt tunc b$, bn maiores quam bh, bt. In concavis speculis si forma quae videtnr in eis, fuerit inter visum et speculimi , erit distantia rei videndae a visu quidem maior quam distantia formae eiuB , a spe- culo, quandoque autem erit minor, et quandoque maior, et quandoque aequalis. Esto sectio circuli qui in concavo speculo, et sit abg {fig. 65), cuius centrumsitd, et pro- trabatur perpendicularis db, et visus si( punctus e, et refiingatur a puncto e radius ebz slA aequales angulos^ et 123 transeat per puntum d perpendicularis super bdf et sit tdhf et siut duae lineae oppositae permutatim secantes se inidcem kdz, Idfn. Cum igitur constituerimus ztm super loca, ad quae inspicitur, erunt propter principia praetaxata forma quidem z penes^punctum k, forma autem t penes h, et forma m in puncto /; cadunt enim inter / et 6, et erit earum distantia ab e minor quam e6, et erit multo minor quam distantia r^rum videndarumv jBuper quas incidit reverberatio , nt eb, bm; et manifestum est quod an- gulus ebx, cum fuerit divisus in duas medietates per li- neam bd, erit bt sicut bh ei dt Qic\iidh,Gi erit linea bz maior quam bk, zd vero maior quam dA, et erit linea bm minor quam bl, et md minor quam Id. Forma ergo t erit super punctum h, et erit distantia utrorum a puncto b aequalis. Distantia vero formae z, quae videturin k minor, et distantia formae m, quae videtur super l, maior. Mani- festum est ergo, quod rerum, quarum distantia ab eodem visu augetur, aut quarum distantia maior est, distantia utique formarum a visu augetur, aut erunt in maiori distaqtia. Gum distantia enim puncti z a visu sit maior quam distantiae reliquarum rerum, videtur forma eius remotior; cumque res videnda, quae est penes m, sit pro- pinquior visui, facta est forma eius, quae est penes l, pro- pinquior reliquis formis. Manifestum est igitur ex his, quod cum distantia rei videndae non fuerit minor quam distantia lineae transeuntis per centrum sphaerae, sed fue- rint res ipsa et speculum in eadem parte ab ipsa linea, res utique vera semper habebit minorem distantiam a speculo, quam forma rtus. Cum situs enim fueiit, sicut diximus, farma rerum videndarum, remotior erit a sphera; et si fuerit res videnda retro lineam, quae transit per centrum sphaerae, res non se habebit sicut diximus. 124 In concavis speculis si forma rei videndae videbitur retro speculum, et positio ipsius rei fuerit illa guam no- minavimus oppositam , secundum ea quae nunc de aliis diximus, lineae utique quae copulant terminos fonnarum magnitudinum videndarum apparent maiores lineis, qnae copulant terminos rerum videndarum , si aspicerentnr sine reverberatione secundum quantitatem distantiae ae- qualem distantiae formae, et positionem aequalem posi- tioni eius non translato visu. Esto sectio circuli in concavo speculo abg {fig. 66), et centrum circuli d , visus autem e , et producatnr ab e perpendicuiaris de , bl , sitque linea copulans terminos rei videndae zh sic posita, ut linea bd secet eam in duas medietates ad rectos angulos; debet enim situs eius esse secundiim oppositionem. Protrahantur quoque ab e duo radii; et refringantur ad z et ad h, et sint ea, eg, et pro- ducti iungantur lineis zd, dh, cum fuerint protractae super punctos r, k, qui sunt retro speculum, et copuletur linea ht^ et secet eam linea db, cum fuerit producta, super pun- ctum L Porma ergo z videbitur penes t, et forma h penes *; linea vero tk est illa quae copulat terminos formae rei videndae, et situs eius est sicut positio zh. Quia igitur di- stantia punctorum 2/1 a visu e est aequalis, et anguli refra- ctionis aequales, erit distantia formarum k, t a ptincto e aequalis, et quia utraeque lineae et, el sunt sicut lineae ke, el, unaquaeque sicut consors sua, et angulus tel sicut angulus kel, et exinde oportet angulos utrorum triangu- lorum aequales esse ; erunt utique anguli penes / recti, et kt erit aequidistans lineae %h, et erit pro{lortio ktadxh sicut proportio td ad zd; sed td est maior quam xd, erit ergo tk maior quam zh; et quia sicutin praecedentibus demonstravimus, possibile est zd quandoque edse sicut zt. 125 quandogue vero maiorem et quandoque minorem, possi- bile BBi zh quandoque esse slmilem kt, et quandoque maiorem et quandoque minorem. Si vero fuerit translata sh ^d locum kt, et habuerint eundem situm , angulus tttique.ftet quandoque erit sicut angulus quem subtendit rA, cum fuerit situs et distantia eius sicut situs et di- staniia tk^ et aspicitur sine reverberatione , et apparebit tisui e aequalis illi ; quandoque vero erit angulus, quem subtendit sh, maior et videbitur maior, quandoque vero fttangulos praedictus minor, et videbitur minor. : £t iterum jcommunes res, quarum distantia a puncto e minor est quani medietas distantiae centri sphaerae ad alterum speculi laterum, conservant distantiam, quae co- pulat utrosque terminos magnitudinis, maiorem quam di- BtaDtiam formae. In concavis ^peculis cum forma rei yi- dendae apparuerit inter eam et visum, et habuerit situm quem praeposuimus, rectae lineae quae copulant termi- no8 niaguitudinum videndarum, quandoque apparentae- quales formis earum, et quandoque maiores et quando- que minores , cum aspiciuntur sine reverberatione , et habuerint positionem ut formae earum, similem illis di- stantiam non translato visu. Esto sectio cirouli in concavo speculo abg (fig. 67), et centrum circulic^, et protrahatur linea bd , sitque visus punctus e, et linea quae copulat terminos rei videndae, zh ita posita, ut dividatur in duas medietates per li- aeani db aA rectos angulos , secundum quod decet in rebus , quarum situs est oppositus ; et refringantur a puncto e ad punctos h, z, duo radii ad aequales angulos, et sint eah, egz , et protrahantur zdt et kdh, ei iun- gantur lineis ea, eg in punctis t, k, ei copuletur linea klt, Videbitur ergo forma z in puncto t, ei forma h in 126 puncto k, et erit linea kt copulans terminos formae, et situs eius erit sicut situs zh. Quia igitur sicut prius di- ximus, distantia visus e a punctis x, h debet esse aeqoa- lis, et anguli refractionum aequales, erit distantia t, i a puncto e aequalis, et utraeque lineae ke, el sicut lineae e<, el, et angulus kel sicut angulus tel. Triaoguli ergo etl, ekl habebunt aequales angulos, et anguli penes l erunt recti, et linea tk aequidistans lineae zh, et erit proportio xh ad kt sicut proportio dz slA td; et iam demonstraYimus in praetaxatis, quod possibile est quandoque esse dx sicat di» et quandoque minorem, quandoque vero maiorem. Possi- bile est ergo esse zh quandoque sicut kt\ qoandoque vero maiorem et quandoque minorem. Si vero fuerit tranalata zA ad locum kt, et situs eius fuerit sicut sitos illiiu; angulus utique ket quandoque. erit sicut angulus quem subtendit zh, cum fuerit situs et distantia eius sicut sitiu et distantia kt, et aspicitur sine refractione, et apparebit visui e aequalis , et quandoque erit maior et videbitur maior , quandoque autem minor , et videbitur minor. Omnes etiam res, quarum distantiae apunctoe minores sunt quam medietas distantiae centri sphaerae in altero laterum speculi, conservant distantiam, quae copulat terminos magnitudinis , maiorem quam distantiam qoae est inter terminos formae. In speculis concavis, cum retro ea fuerit forma rei quae in eis videtur, aut inter ea et visum, res utique rectae, cum habuerint situm oppositum, apparent concavae. Bes autem circulares , quarum latus concavum est versus ape* culum et visibilem radium refractum, videntur concavae; quarum autem curvitas est versus speculum, quando- que videntur concavae , et quandoque rectae et quan* doque curvae. 127 Sit ergo prius forma rei videndae retro speculum , et esto sectio circuli, qui estin concavo speculo abg {fig, 68), et centrum circuli d, et protrahatur linea bde, et dividatur linea abg per duas medietates in puncto b, et producantur per punctos a, g linea recta azg, et linea circularis, cuius concavitas sit versus speculum et radium refractum, et sit ahg, et sit dh raaior guam hb ^ sitgue visus punctus e. Vid^tur ergo forma punctorum a, ^ de his duabus lineis in ipsis punctis a, g, et vi(^ebitur forma punctorum z, h retro speculum, z guidem in puncto h, h autem in puncto l, * Demonstratum est enim, guod rerum, guarum distantia ab eodem visu maior est, distantia utigue formarum erit maior.; distantia autem h a visu e, accepta in radio refracto a puncto b, maior est guam distantia z ab illo, et punctus l remotior est guam punctus ft, et utrigue hi puncti sunt super formam. Forma ergo lineae ag videbitur super li- neam, guae transit per punctos akg; forma autem circum- ferentiae ahg videbitur super lineam transeuntem per punctos alg. Goncavitas guogue circumferentiae ad^ vide- bitur versus visum e, lineae itague guae transeunt per punctos aWg, alg habebunt maiorem concavitatem guam illa» guoniam proportio radii recti cadentis super eas ad radios obliguos maior est. Universaliter autem formae rerum rectarum et concavarum videntur concavae. Rnrsus describatur circumferentia curva transiens per punctum fr (fig. 69), tangens speculum et circumferen- tiam abg , et hii ebz , et producantur lineae deh, dzk, ei sit de et dz maior guam ea et zg, et transeat per punctum b linea tangens circulum, et sit Ibm. Possibile est ergo formam ez videri guandogue inter ^, a et inter m, ^ et guandogue super punctos /, m,.guandogue vero extra punctos l,fn, velut punctos h, k, secundum distan- 128 tiam ab a et z a puncto g , et erit forma b in ipso pim- cto h. Cum autem fuerint formae e , z super punctOB /, m, videbitur forma ebz curva super lineam Ibm rectam» et cum fuerint formae ez intera/ etinter^m, forma TidO' bitur concava. Res enim, cum prop^ortiones radionim obli- guorum cadentium super eas ad radios rect08 faerint minores, apparent concavae, et cum fuerit forma e x extea punctos l,m, forma eius videbitur super lineam curvam. Accidit etiam aliter guam di^mus, quoties proportiones radiorum declinantium ad rectos erunt magnae; linea ergo Ibm, guae est recta, cum aliguid ad comparationem illius * fuerit concavum, et ipsa erit concava simpliciter, et cum aliguid ad comparationem eius fuerit cunuim, et ipsa erit curva simpliciter. Iterum ponatur forma inter visum et speculum» et esto sectio circuli in speculo concavo abg {fig. 70), et centrum circuli d, et protrahatur linea edb perpendi- cularis super speculum, sitgue visus punctus e, et linea guae copulat terminos rei videndae hz, et secet eam linea ed per duas medietates ad rectos angulos. Gum igitur productae fuerint lineae zdg, Adib, apparebitYormax in puncto t, et forma h in puncto k. Gopuletur ergo linea 1 1, et producatur ad circumferentiam in puncto l, et protrafaatur linea Idm, et iungatur lineae zh, cum fuerit producta, in puncto m. Forma ergo puncti m videbitur inter punctos d, l. NuUus enim radiorum a visu procedentium refringitur de puncto l ad m ad aeguales angulos; et si nos existimave- rimus formam puncti m in puncto n , forma utigue lineae mh rectae, videbitur super lineam guae transit per punctos k,t,n, et erit concavum latus huius formae a parte visuse. Siiniliter etiam flt, si existimaverimus, guod linea quae transit per punctos z,h sit circularis, et concavum latufl 129 aius a parte speculi. Cum enim constituerimus circumfe- rentiam, ad quam visibilis radius refringitur, et concavum latus eius fuerit a parte speculi, ut circumferentia hzs, forma puncti s erit inter punctos d,n, sicut punctus o, et rursus erit linea, quae transit per punctos k,t,o, magis concava; ipsa vero est, quae describitur super formam tei videndae. Item existimemus circumferentiam zsh (fig.ll) , cuius curvum latus sit a parte speculi, et copuletur linea zh recta, quae copulet terminos rei videndae, et sit concava forma eius knt, et quia radii cum fuerint minores, forma rei, quae per eos videtur habet minorem distantiam, et distantia s a visu e minor est quam distantia l, cum acci- pitur in radio refracto a puncto b, et distantia formae eius, quae est n, minor est quam distantia l, punctus s videbitur inter d et n. Possibile est ergo formam eius quandoque videri super m, et erit forma zsh super lineam tmk rectam , et quandoque inter punctos m, n, et videbitur linea concava. Possibile quoque est formam quandoque videri inter punctos d, m, e% erit linea curva secundum magnitudinem et parvitatem concavitatis; forma vero pun- ctorum z, h erit stabilis super punctos t, k. In concavis speculis cum forma rei videndae faerit retro speculum , sentitur esse in illa parte qua res est vere, et cum translatae fuerint res videndae ad aliquam partitim , apparent formae earum translatae ad eandem partem. Sit igitur sectio circuli in concavo speculo abg {fig. 1%), et centrum eius d, visus autem e, et duae res videndae a lateribus eius, et sint z, h, et producantur lineae dzt, dhk, et refringantur duo radii protracti ab e ^d z ei h ad aequales angulos , et sint e a z et ebh , ei protrahantur lineae ea, eb, et iungantur lineis dt, dk m 9 130 puDCtis t, k, Forma jrgo z erit penes punctum t, et forma h penes punctum k, et erunt loca, in quibus sentiimtur formae, in partibus illis, in quibus sentiuntur vera res. Transferatur itaque/i ad /, et refringatur ad eum ad ae- quales angulos ehl , et protrahatur dlm, et iungatur eg productae in puncto m. Erit ergo translata forma k ad punctumm, qui est in illa parte, ad quam translata est res vera. Rursus si h, i, qui sunt res videndae, fuerint super visum, formae utique fc, m erunt super visum , etapparebunt supra magnitudinem. Rerum enim, quarum facies verae snnt oppositae aspicienti , sublimitates comprehenduntur per radios sublimes. Si vero existimaverimus h ei l sl dextris visus , accidit esse formas eorum , quae sunt k et m, a dextris nostris , sed non putantur esse dextrae, quoniam id quod de radiis dextris, qui cadimt super for- mam verae rei oppositae faciei nostrae et apparet in dextra parte nostra, est a sinistra parte formaium, et per radios dextros comprehenditur sinistrum latus rei videndae, cum fuerit inter speculum et aspicientem opposita faciei nostrae, t et recte aspicitur; sed in reverberatione comprehenditur dextrum latus, et facies formarum sunt nobis oppositae. Formae ergo quae sunt dextrae , existimantur esse sini- strae propter consuetudinem , quam visus solitus est ha- bere in positione. In concavis speculis cum forma rei videndae fuerit inter speculum et aspicientem, sentitur in diversa parte quam illa, in qua est res vera videnda, et cum res vera fuerit translata ad aliquam partium, apparet forma trans- lata ad diversam illi partem. Esto sectio circuli in con- cavo speculo abg {fig, 73), cuius centrum rf, visus autem sit e, et ex lateribus aspicientis sint duae res videndae z, h, 131 et refringantur ad eas duo radii a puncto e per aequales angulos, et sint eaZy ehhy et producantur lineae dzt, dhh, guibus obvient lineae ea, eh in punctis th. Erit ergo forma puncti z in puncto t, et forma puncti h in h, Formae ergo eorum videbuntur in partibus, quae veris rebus diversae sunt. Similiter etiam si punctus h transferalur ad pun- ctum Ij et refringatur ad eum radius egl, et linea dlm producta obviaverit lineae eg in puncto m, forma utique hy quae est fc, erit translata ad partem diversam illi ad quam res vera translata est. Et iterum si fuerint A et / supra visum, formae eorum, quae sunt fc, m, erunt nobis' deorsum, et apparebunt ea quae sursum , deorsum. Res enim quae comprehenduntur per visibiles radios inferiores, videntur in parte inferiori rei videndae. Quod autem vide- tur ex huiusmodi reverberationibus radiorum inferiorum, apparet in superiori parte , et si existimayerimus h et / esse a dextris \dsus, formae earum, videlicel h et m, appa- rebunt in sinistra parte nostri, et sic apparebunt res dextrae sinistrae ; quae enim videntur per radios dextros, apparent in sinistra parte, et quae comprehenduntur per radios sinistros de rebus veris faciei oppositis, appareut a dextris, et quae per has reverberationes videntur, illa quidem quae ad dextram partem moventur, apparent mo- veri ad sinistram, quoniam manus nostra non videtur moveri in forma ante se, sed ad diversam partem , et quod sit dextra manus; rerum enim oppositarum faciei illae quae comprehenduntur secundimi directionem, ha- bent situm dextrae partis in sinistra parte nostra. Ex his igitur quae exposuimus, oportet ut in concavis sp^culis fiat diverso modo , quam in rebus quae in eis aspiciuntur , quandoque quidem fit sicut in rebus quae recte videntur , quandoque vero aliter. Secundura res i32 • quidem quae recte videntur , fit diversitas ex positioDe faciei ad faciem, et translatione eius retrorsum tantum, sicut demonstravimus , guod accidit in curvis et planis speculis. Formae enim rerum , quarum distantia ab eo- dem visu maior est, semper maiorem habent distantiam ab ipso visu; habitus enim reverberationum non habet efQcaciam in translatione radiorum secundum directio- nem , sed tunc ef&citur translatio diversa , cum faerit* ad laterales partes ; visibiles enim radii , quorum hic est habitus , sunt diversi. Situs ergo , qui verbi gratia fuerit sursum , quandoque , sicut demonstravimus , vi- debitur sursum in concavis speculis, sicut videtur cum res fuerit ita posita, quod forma eius videatur retro speculum, et erit sicut res quae recte videtur; quando- que vero apparet deorsum translata aliter quam quod recte videtur. Res autem dextrae quandoque apparentin eis sinistrae , sicut accidit in his , quarum facies verae sunt nobis oppositae, quandoque vero aliter, videlicet in dextra parte. Idem quoque visus videt formam eiusdem rei in huiusmodi speculis quandoque unam et quandoque plures , et cum visus fuerit stabilis et non movetur, qui- busdam de formis rerum erit maior distantia a visu , quam ipsa res videnda, quibusdam vero minor. Diametri autem formarum magnitudinum videndarum quandoque videntur sicut diametri istarum rerum, et quandoque maiores et quandoque minores. Figurae autem quarumdam rerum apparent similes figuris formarum in imagine ut concavae, et quaruindam figurae apparent dissimiles ut rectae, et quarumdam figurae quandoque apparent similes, et quan- doque dissimiles, ut curvae. Quod autem ex sensibilitate diversitatum istorum omnium fit, apparet secundum se- quentiam praepositorum principiorum. 133 Omnia igitur guibus indigetur in sermone de formis , quae videntur in simplicibus speculis et non commixtis, fere haec sunt quae diximus. Quod autem fit ex compositione trium figurarum pri- marum , et quod accidit in eis de compositione flgura- rum, videlicet planae et curvae et concavae, possibile est intelligere volenti illud dignoscere, cum ratiocinatus fuerit secundum praetaxata; et si quis perpenderit ea quae dicta sunt de speculis planis, curvis et concavis, et de figuris quae fiunt in unoquoque eorum , secundum quod expo- suimus , et coaptaverit his illa quae propria sunt diame- tris eorum , et diametris rerum quae videntur ex oppo- sito , non indigebit alio sermone in huiusmodi contem- platione, nisi voluerit eadem repetere. Facile enim erit consideranti ex praedictis dignoscere species difTerentiae formarum, quae fit in singulis com- positionibus ; nec tamen nocet quaedam breviter dicere de ipsis diversitatibus. Specula igitur composita ex directione et curvitate , sicut illa quae similia sunt cylindro , cum visus fuerit a curva parte eorum , et longitudo rei videndae fuerit erecta in ipso speculo , et situs rei fuerit aequidistans longitudini speculi, longitudo utique apparebit tunc mo- derata , et latus sublimius erit sursum , inferius deor- sum ; latitudo vero minor , et quod est a dextris , appa- rebit a sinistris , et quod a sinistris a dextris. Sed cum latitudo rei videndae fuerit aequidistans longitudini spe- ciili, latitudo qiiidem apparebit moderata, et rursus vide- buntur res dextrae sinistrae , et sinistrae dextrae ; longi- tudo. autem videbitur brevior, et quod sursum, apparebit sursum, et quod deorsum, deorsum. In speculis vero compositis ex concavitate et direction^; 134 ut flgura cylindri, cum concava pars eius fuerit a parte aspicientis , formae quidem quae fiunt in ipsa concavi- tate , cum fuerint retro speculum , et longitudo rei vi- dendae aequidistans longiluJini speculi, longiludo quidem apparebit moderatae quantitatis , et quod fuerit sursum , videbitur sursum, et quod deorsum, deorsum. Latitudo autem videbitur maior, et quod a dextris videbitur a sinistris , et quod a sinistris a dextris ; et cum latitudo fuerit aequidistans longitudini speculi , ipsa quidem la- titudo apparebit moderatae quantitatis , et rursus vide- buntur dcfxtrae res sinistrae, et sinistrae dextrae; longitudo autem maior, quod sursum sursum, et quod deorsum deorsum. Sed cum forma apparuerit ex parle concavitatis inter speculum et visum, longitudo utique cum fuerit ae- quidistans longitudini, apparebit moderatae quantitatis, et quod sursum, sursum, et quod deorsum, deorsum; latitudo vero quandoque apparebit moderatae quantitatis, et quan- doque maior et quandoque minoT, et res dextrae videbuntur sinistrae, et sinistrae dextrae; sed cum latitudo fuerit op- posita longitudini speculi, latitudo erit moderatae quan- titatis , et res dextrae apparebunt sinistrae et sinistrae dextrae ; longitudo vero quandoque apparebit moderatae quantitatis, et quandoque longior et quandoque brevior, et quod sursum videbitur deorsiun, et quod deorsum sursum. In speculis autem compositis ex concavitate et curvi- tate, cum forma rei videndae debeat videri propter con- cavitatem retro speculum, et fuerit longiludo rei videndae in speculo opposita lineae speculi curvae , longitudo vi- debitur brevior, et quod sursum, sursum, et quod deor- sum , deorsum ; latitudo vero apparebit maior , et res dextrae sinistrae , et sinistrae dextrae. Sed cum fuerit latitudo opposita curvae lineae, videbitur minor, et quod 135 a dextris , rursus videbitur a sinistris , et quod a sini- stris, videbitur a dextris^ longitudo autem videbitur maior, et quod sursum , sursum , et quod deorsum , deorsum. Cimi autem forma debeat propter concavitatem videri inter speculum et visum , cum fuerit longitudo rei vi- dendae opposita lineae speculi curvae apparebit brevior, et quod sursum, sursum, et quod . deorsum, deorsum; La- titudo autem quandoque apparebit maior et quandoque minor, et quandoque moderatae quantitatis, et quod a dextris videbitur a dextris, et quod a sinistris a sinistris. Sed cum latitudo fuerit opposita lineae curvae, videbitur minor, et dextra sinistra, et sinistra dextra ; longitudo autem videbitur quandoque moderatae quantitatis , et quandoque maior et quandoque brevior, et quod sursum deorsum, et quod deorsum sursum. Generaliter autem in omnibus formis , quae sunt in speculis compositis , fiunt loca translalionis in ante et retro diversa, eo quod quaedam eorum sunt propinquiora, et quaedam remotiora , et non fiunt secundum transla- tionem, quae fit in rebus recte videndis, nec sicut fit in rebus, quarum omnes partes apparent secundum maius , et minus. Fit etiam speculum ex pyramide , et forma quae est in eo , habebit acutimi angulum , cum visibilis radius infra ceciderit super eam ; fit enim ex compositione li- nearum rectarum et concavarum. Pit autem speculum in pyramide ab exterieri parte ex compositione linearum rectarum et curvarum , sicut exposuimus. Constituatur speculum, infra quod visus cadat, et esto simile pyramidi, cuius triangulus sit ahg (fig. 74), et axis eius ad, et sit super ad punctus e, sitque visus super axem ad , cum fuerit producta , in puncto z , et refringatur inter z Qi c 136 radius ah ag ad aequales angulos, et sit zhe, et pro- trahatur perpendicularis et super ag, et iuugatur zh, cum fuerit producta, in k, lungitur ergo ei retro spe- culum, et quia angulus kta est rectus, et angulus xhg, qui est sicut angulus thk , est minor recto , accidit fleri formam e in omni circulo, per quem transit punctus ft, cum volidtur superflcies ezk circa axem az; et cum re- verberatio ista pervenerit ad ad, et fuerit producta; forma utique videbitur in universo circulo , qui transit per punctum h propter concavitatem speculi , cum axis ad fuerit stabilis, et circa eum volvitur superflcies, quo- niam superflcies quae transeunt per axem, omnes erunt super pyramidis superflciem ad rectos angulos, sicut su- perflcies , quae transeunt per centros sphaerarum , sunt super earum superflcies ad rectos angulos. Similiter etiam cum fuerit flgura similis pyramidi, cuius basis non sit circulus, sed habuerit flguram basis ex rectis lineis ; visus autem aspicientis in eam fuerit dispositus sicut in praecedenti flgura , non accidit tunc fleri reverberationem a circulo , nec videbitur forma in circuitu , sed flt reverberatio ab uno puncto ex uno- quoque laterum speculi , et erit ille punctus , qui est super lineam procedentem a capite pyramidia inter la- tera, et continet cum latere basis rectum angulum. ^os- sibile est autem superflcies istas , quae transeunt per has sectiones tantum ad partem uniuscuiusque superflciei la- terum, quae continet reverberationem, transire per azem et incidere in locum, ubi est visus et res videnda, et erit numerus earum sicut numerus laterum. In huiusmodi ergo rebus fit forma rei una, ita tamen ut non ponatur principitim, quo.d res de qua flt forma, ait magna , sed cum acciderit casum visus fleri in superflciem 187 pyramidis speculi, accidit simile huic. Si enim signave- rimus circulum in superficie eius, et posuerimus colorem eius splendidum, ita ut sit parum maior quam circulus basis pyramidis, et posuerimus medium eius super piui- ctum d diligenti perscrutatione , et aspexerimus a capite pyramidis secundum directionem axis, acciditutigue videri cireulum, gui signatus est extra basem. Esto igitur ipsum speculum abg (fig. 75) et axis eius ad, et producantur dae e% bgx et agh, sitque visus e et res videndaxr, et refrin- gatur radius ex his qui procedunt ab e ad js ad aequales an- gulos, ut e{, tz, et protrahatur zh perpendiculus super ah, et iungatur lineae et, cum fnerit producta, in k. Punctas k ergo erit retro speculum , angulus enim kht est rectas» et angulus htk acutus. Forma ergo puncti s erit penes k, et comi voluta fuerit superficies isla circa axem ad, et per circumscriptionem suam constituatur pyramis, pimctus uti- que z transeundo constituit circulum penes basem illius super rem videndam , et- punctus quidem k erit super formam eius, punctus quoque t super locum, unde videtur forma a speculo, sicut invenimus ex his quae apparent , et secundum praedicta principia. Fiunt etiam in speculis compositis ex speculis figura similibus plures formae rei unam imaginem habentis , cum talis fuerit compositio speculi , ut appareat aspicienti tamquam figura sphaerae , et hac de causa unumquod- que speculimi aptum est unum locum suscipere penes visi- biles radios. Esto sectio circuli abgd (fig.l6), ei centrum eius e, et protrahantur per aequales distantias lineae ai, bg, gd, sitque visus secundum unam speciem in puncto e , et superficies abgd sit una , et transeat per sphae- ram et raditim refractun^ , sintque radii , quos continet species per unumquodque speculum in refractionibua , 138 ez, eh, ety ek, el, em. Quod ergo fuerit inter ht et Ik ^ et omne quod ceciderit super angulos cum refringitur, cadit extra figuram speculi ; quod auteni fuerit inter zh et tk et Im cum refringitur, cadit extra figuram spe- culi, et numerus formarum earum erit aequalis numero speculorum. Unusquisque enim radiorum refractorum a speculo continet totum , tamen non omnes coniunctio- nes, quae inde fiunt, erunt continuae, sed erunt disgre- gatae penes minutioues , et erit refractio a rebus quae sunt extra figuram speculi ; et sicut in rebus quae recte videntur , illae quae sunt disgregatae , apparent manife- stius, sic iterum et liic una res, quam continet angulus separatus et visibilis radius, non apparet continua in plu- ribus locis , quorum anguli habent numerum aequalem , cum prorsus non fuerit diversitas in numero formarum, et figura speculi in principio taxato recta -extiterit, et fueril in ipso speculo curvitas aut concavitas, et de angulis, qui sunt penes coniunctionem , fiant minutiones necessario; tamen potius fiunt diversilates in essentia sua et in mo- deratione distantiarum in unaquaque formarum et assimi- latione situs , aut non ita fit , seJ fit contrarium , fitque forma unius rei in pluribus speculis secundum numerum superficiei, et praecipue planis, in quibus fit conslitutio formarum , sicut accidit cum fuerit visus et res videnda hinc inde , et fuerit inter eos posita res tegens. Plura enim fiunt in huiusmodi positione secundum circuitio- nem radii in duobus vel pluribus speculis planis susci- pientibus reverberationem ad rem videndam , et flunt formae eomm secundum directionem radii.- Sit ergo exem- plum, quo flant manifesta quae diximus, tale. Gonstituatiu* visus in puncto a (fig. 11) , et res videnda sit fe, et inter eos aliqua magnitudo tegens, et sit g, et protrahantur a punctis 139 a, b ad opposita eis loca ad et bCy et copuletur linea de, et dividatur angulus ade in duas niedietates per lineam dZy et angulus bed in duas medietates per lineam eh, ei pro- trahantur super dz et super eh duae perpendiculares kdt, lem, quae existimentur esse duae rectae lineae in duobus planis speculis, secundum principia, quorum positionem p.raetaxavimus. Erit ergo reverberatro ad aequales angulos super lineam de, et erit reverberatio de super eb; huiusmodi enim lineae continent cum perpendicularibus super specula cadentibus aequales angulos. Visibilis enim radius proce- dens ab a refringitur, utpote adeb, et sentitur res videnda in 6, ita videlicet, ut forma eius similis sit primis prin- cipiis in loco speculi , quo conveniunt perpendicularis cadens a re videnda super speculum , et linea recta quae procedit a visu. Linea aut^m quae est secundum directio- nem visibilis radii, una est semper, et est ad; perpendi- culares autem quae producuntur a re videnda, plures sunt, et numerus earum aequalis est numero speculorum , et impossibile est illas omnes convenire in situ primi visus, sed cadit inde super ipsum speculum punctus a tantum, qui est novissimus reliquarum perpendicularium, ubi fit consistentia visibilis radii primi penes speculum utrisque commune , secundum principium , quod praepo|*imus de visibilibus radiis; et cum fuerit protracta a puncto 6 ad /e perpendicularis 6m , quousque iungatur dc, cum fuerit producta in puncton, erit primus terminorum perpendi- cularis punctus n, qui est ultima refractionum , quae fit a puncto e. Et iterum cum ab ipso puncto protraota fuerit perpendicularis ad tk, ut fcn, quod possibile est, cum an- gulus edk fuerit acutus , ita ut iungatur visibili radio , qui esi ad, cum fuerit productus, in s, erit utique terminus perpendicularis novissimae punctus s, qui est prima ex 140 reverberationibus d, et erit forma b , guae apparet visui a in pimcto s , principiis scientiae planorum speculorum ob- servantibus visibilem certitudinem ; guoniam ads est sicut ad, de, eb simul acceptae. Quia ergo be est sicut en, eind est sicut ds , cum linea ad utric[ue parti communiier fuerit opposita, erit tota as sicut lineae ad,de,eb simul acceptae. Accidit autem propter ea quae diximus , cum fuerint re- verberationes plures , et magnitudo formaruin et rerum verarum aequalis , secundum guod est proprium planis speculis , et non fuerit positio aequalis ; tunc enim ap- paret magnitudo aequalis , cum numerus speculorum fue- rit impar tantum ; pari enim existente , apparet dextra sinistra, el sinistra dextra. Sit ergo visus a (fig, 7S) ei res videnda bg , et tegens sit d , sitque reverberatip ex tribus speculis , videlicet ez , ht , kl , et reMngatur ad partem b radius ad aequales angulos in omnibus spe- culis , et sit ae , eh, hk , kb , et refringatur ad g radius az , zt, tl , Ig, et protrahantur radii , et iimgantur per- pendicularibus , secundum primam quidem distantiam in mn , secundum distantiam secundam vero in so , 86« cundum tertiam autem , quae est penes magnitudinem , bg, apjf^ebit in cq. Manifestum est ergo ex his quae praeposuimus, hoc fieri secuudum aequalem distantiam. Cum anguli enim oppositi sint aequales, et radii refracti cum extensi fuerint, semper efBlciantur recti , oportet ut kb et gl coaptentur super km et In; hm autem et tn super totam hs et to; es vero et jso super totam ec et zq. Simili itaque modo visus a comprehendit bg in spe- culis, sicut id quod recte videretur, cum fuerit in simili loco et in simili situ, videlicet in cq, ubi res comprehen- dutilKtr eecundum hanc dispositionem per angulum eaz, 141 et apparent aequales. Hanifestum quogue est, quod cum positio rerum videndarum fuerit in oppositione visibilis radii cadentis super eas , in tribus speculis de magni- tudine utique bg punctus b apparebit dexter propter m et s , qui sunt super c , et videbitur positus in dextris partibus visus a, et punctus g propter n et o apparebit super q, qui est in sinistra parte visus a; et cum arbi- trati fuerimus duo esse specula, videlicet ez,ht,ei fuerit punctus m sinister in magnitudine mnf apparebit utique per speculum th super c, et habebit positionem dextram, secundum quod apparet visui a, et n dexter super q, qui est in sinistra parte. Accidunt ergo similia, cum specula fuerint, sicut dixi- mus, paria, quoniam in singulis reverberationibus vertitur visibilis radius ad diversam partem, sicut in rebus quae recte apparent, quarum dextrae partes faciei oppositae faciei nostrae comprehenduntur per radios sinistros, et sinistrae per dextros. Et cum fuerit speculum unum et reverberatio una» ex reverberatione utique prima videntur res dextrae per ra- dios dextros e diverso a priori modo, et e diverso a re quae recte videtur. Similiter etiam contingit , si fuerint plura speci^ im- paria; accidit enim secundum sequentiam permutatim fieri reverberationes in speculis paribus , sicut in rebus quae recte videntur, et faciunt reversionem propriam po- sitioni. Gum autem specula fuerint imparia, flt e di- verso , et secundum modum qui proprius est primae reverberationi. QSO 142 SERMO QUINTIIS De Opticis Tholomaei. Cum de eo quod accidit in fractionibus visibilis radii, aliud quidem est secundum adversationem, et fit ex re- verberatione existente a rebus qu^e prohibent penetratio- nem, et continentur sub nomine speculorum, aliud autem existit secundum penetrationem , et fit ex flexione exi- stente in rebus , quae non prohibent penetrationem , et subiacent uni nomini, videlicet quod penetrat visus. In praecedentibus quoque sermonibus exposuimus ea quae de speculis , et explicavimus inde , quantum per illud possibile sit demonstrari , diversitates formarum re- rum videndarum secundum praetaxata principia in scientia opticorum , et quid accidit exinde unicuique rerum vi- dendarum. Restat nobis hic discernere id quod accidit de diversitatibus earum , cum aspicitur ad eas per ea quae visus penetrat. Quod quidem haec species fractionum visibilis radii non cadit in universis humoribus et rebus subtilibus , sed (^it inde in unaquaque earum aliqua quantitas , cum qua remanet aliquid simile rei qualicumque exi- fitenti , ut possit penetrare tantum ; et quod secundum rectitudinem procedit , per fractiones radiorum sine im- pulsu tantum in superficiebus determinantibus diversi- tates bumorum in subsistentia sua ; et quod flexio non fit in translatione a rebus subtilioribiis et tenuioribus ad grossiores tantum , sicut flt in reverberationibus , verum etiam in tranalatione a grossiori re ad subtiliorem ; et quod nuUa fit in eis flexio ad aequales angulos , sed ha- 143 bent similitudinem quamdam et quantitatem , quae se- quitur habitudinem perpendicularium , dictum est in praecedentibus. Augmentationes autem angulorum particulares, quorum hic est ordo , debemus nunc distinguere , dicentes prius sermonem de rebus communibus , in quibus conveniunt huiusmodi flexiones, et res quae apparent in reverbera- tionibus , videlicet quod quicquid iterum in aliquo isto- rum videtur, videtur secundum directionem radii, qui ad illud flectitur a visu, id est secundum rectitudinem radii, qui procedit a visu ad superficiem de qua flt fractio, et secundum rectitudinem perpendicularis cadentis a re vi- denda in superficiem, de qua fit fractio. Debet ergo ite- rum exinde , sicut ex praecedentibus , superficies quae Iransit per radium fractum , esse directa super superfi- ciem, de qua fit fractio. Quod quidem ex Jiis sequitur illud quod pertinet na- lurae sensuum el habet quantitatem , retulimus in loco quo praeposuimus principia, quibus utimur in speculis. Quod autem est apparens et manifestum, possibile est nobis intelligere per se ex nummo qui sit in vase, quod vocatur ha^ptistir. Visus enim cum steterit fixus in loco quo radius qui transit per marginem vasis , efflckiir sub- limior nummo, et manente isto in statu suo, effundatur aqua in vase moderate, quousque radius qui transit per marginem vasis, frangatur ad interiora, et ceciderit super nummum; accidit inde, res, quae prius non videbantur, videri tunc super lineam rectam protractam a visu ad locum sublimiorem vero loco, et existimabitur radius non esse refractus ad eas , sed quod ipsae natent et eleventur ad radiura , et hac de causa apparebunt secundum per- pendicularem cadentem super aquae superficiem , iuxta principia quae prius explicavimus. 144 Si enim posuerimus visum punctum a (/t^. 79), et di- stinctionem communem superficiei, quae transit per ra- dium fractum et superficiem vasis radium qui procedit ad marginem yasis qui est b, et est radius abd; et po- suerimus nummum in loco g, qui est in inferiore parte vasis , quamdiu vas erit vacuum , nummus utique non videbitur, quoniam visibilem radium, qui posset ad illum recte proCedere, tegit illud quod est in parte puncti b de corpore instrumenti. Cum autem infunditur in vase tantum de aqua , quousque superflcies eius transeat per lineam zhCt flectitur linea abh super lineam^A, qua sublimior est ah t et videbitur tunc locus nummi super perpendi- cularem cadentem a puncto g super eh , vX perpendicu- laris Ikg quae iungitur lineae ahd in puncto k, et erit situs illius quod inde apparet, super radium productum a visu, et recte transeunte per punctum h, qui est subli- mior vera linea et propinquior superflciei aquae , et vi- debitur in puncto k, Fit etiam quantitas flexionis, quae accidit in aqua et cadit subtus visum, secundum illud experimentum quod fit per plancam , quam constitueramus aeream ad per- scrutanda ea quae de speculis; in qua constituatur cir- cutus (^d (fig. 80) super centrum e, et protrahantur duo diametri secantes se invicem ad rectos angulos, videtieet aeg, bed, et dividatur unaquaeque quarta pars per no- naginta partes aequales , et ponatur super centrum ma- gnitudo quaedam valde parva colorata quolibet colore , et constituatur planca erecta super pelvim parvam , et infundatur ibi aqua clara , et sit moderatae quantitatis visui penetrabilis, sitque divisa saperficies plancae, erecta super aquae superflciem ad rectos angulos, medietas au- tem circuli, quae est bgdy tota sit infra aquam, et nihil 145 aliud praeter.illam sit ibi; sitque diameter aeg perpen- diculaiis super aguae superiiciem. Sumatur quogue m altera de duabus quartis plancae, quae sunt super aquam, a puncto a circumferentia data, ut az, et rursus ponatur super latus z aliqua parva magnitudo colorata. Si itaque aspexerimus cum altero oculorum, quousque apparebunt nobis utraeque quantitates insimul super radium proce- dentem a visu , videlicet quantitas z et quan^itas e , et volverimus fustem parvum subtilem super circumferen- tiam oppositam in aqua existentem , quae est gd , quo- usque appaftierit extremitas fustis, quae est a parte cir- cumferentiae in oppositione duarum magDitudinum prae- dictarum , et sumpserimus partem circumferentiae quae est inter^ et punctum quo recte apparet, utpote jfft, in- venietur ulique semper circumferentia ista minor quam ai, et cum copulaverimus lineas ze, eh, erit anguloa aez maior angulo geh; quod non fit nisi cum accidit fractio, id est cum radius ze frangitur ad h secundum augmentum alterius angulorum oppositorum super alterum. Rursus si posuerimus oculum super perpendicularem ae , invenie- mus formam in oppositione et rectitudine, et erit cadens super^, nec accidit ei aliqua fractio. In universis autem reliquifi speciebus posHionis, cum circumferentia az fuerit maior, iterum erit circumferentia gh maior, et erit fra- ctio radii maior; cumqu^e fuerit circumferentia aj? decem partium de nonaginta, quibus divisa est quarta pars cir- culi , eril circumferentia gh octo partium ad prope , et cum fuerit az viginti partium, erit gh quindecim partium et <]imidiae; et cum fuerit az trigmla, erit gh viginti duarum et dimidiae; et cum fuerit az quadraginta, erit gk viginli novem, et cum fueritaj^ quinquaginta, eviXgh triginta quinque; et cum fuerit az sexaginta, erit gh qaa* 10 146 draginta et dimidiae ; et cum fuerit ax septuaginta, erit gh guadraginta quinque et dimidiae ; et cum fuerit ax octoginta, erit gh quinquaginta. X vin XX XV et dlniidiut XXX XXII et dimidius XL XXVIIII • L XXXV LX #1- et dlmldioii LXX XLV et dimidius LXXX L Quantitates quidem fractionimi quae fiunt in aqua, in- venimus, sicut est expositum, non existente inter aquas sensibili diversitate propter grossitudinem et subtilitatem earum. Si vero aspexerimus a grossitudine naturalis aquae ad subtilius corpus, apparebit multa diversitas de augmento quod fit in angulis et in quantitate flexionis, quae flt in transitu radii ab aqua, quae spissior est, ad id quod est subtilius. Sed quia impossibile est nobis per praedictum experimentum perpendere habittun fractionis, quae fit cum radius procedit a grossiori himiore ad subtilioi^m, dispo- suimus inquirere ordinem angulorum taliter. Fiat de vitro puro semicylindrus secundum similifcudi- nem medietatis plancae rotundae, descriptus per circum- ferentiam tkl {fig, 81) , sitque diameter eius minor dia- metro plancae aereae quam praediximus, et aptetur basis eius super plancam, ita ut tota illi coniuncta sit; etceo- 147 trum eius sit in c, et diameter eius super diametrum bd ut tl, ae vero sit perpendicularis super latus vitreae superficiei. Omnes ergo lineae, quae protrahuntur a pun- cto e ad circumferentiam bgd et ad circumferentiam tkl, erunt perpendiculares. Si itaque ipsum experimentum simili praecedenti modo disposuerimus , et signaverimus aliquod parvum signum in superflcie cadente super pun- ctum e in medio lateris semicylindri , aspexerimus quo- que cum altero oculorum secundimi directionem lineae ae ad marginem vitri , res utique quam volverimus super circumferentiam oppositam huic circumferentiae , quous- que appareat ante se , invenietur posita super ipsimi g , linea enim aeg est perpendicularis super unamquamque ex tel, tkL Et cum volverimus visum , quousque perve- nerit ad locum adversum huic loco , et aspexerimus se- cundimi directionem lineae ge, quae super marginem vol- vitur, apparebit nobis res in oppositione ge, erit silus eius super ea, ei non erit fractio in exitu de vitro ad aerem hac eadem de causa. Si vero sumpserimus aliquam cir- cimiferentiam datam a puncto a, ut circumferentiam ax, et protraxerimus lineam ze, colorantes eam colore nigro, et rursus aspexerimus hic, quousque res quae volvitur re- tro vitrum, videatur in directione ipsius lineae, et signave- ripius aliquo signo locum quem invenerimus, ut locum h, quousque color niger efflciatur continuus cum eh, inve- niemus iterum hic quod angulus aez maior est angulo geh, et inveniemus augmentum eius maius quam augmentimi eius in aqua, ubi erat distantia sicut haec distantia, Cum- que steterimus in loco puncli fc, qui est oppositus puncto e, et aspexerimus ab ipso puncto h, secundum he, appare- bunt utrique simul super unam et eamdem lineam ; et quia in hoc loco apparuit flexio radii , oportet , ut cum 148 radius processerit ab aere ad vitrum sicut ze, ei fuerit fractu^ supra eh , aut processerit a vitro ad aerem ut he,^ et fuerit fractus super ez, cadai fractio in latus t; et cum perpendiculares quae protrahuntur ab e a.i tkl fuerintsi- miles, non flectuntur, sive sint accedentes sive recedentes. Et si iterum hic perscrutati faerimus guantitates fra- ctiontun in unaguaque specierum situs, inveniemus, quod cum visus fuerit in distantiis aequalibus distantiis prae- dictis, quantitas utique anguli, qui est in aere penes pnn- ctum e, quemque continet perpendicularis a^ et radius ez, cum fuerit decem partium de nonaginta attributis quartae parti circuli, erit angulus geh septem partium ad prope, et cum fuerit primus angulus viginti partium , erit alter tredecim et dimidiae; et cimi ille faerit triginta, iste erit novendecim et dimidiae; et cum ille fuerit quadraginta, iste erit viginti quinque; et cum ille fuerit quinquaginta, iste erit triginta; et cum ille fuerit sexaginta, iste erit triginta quatuor et dimidiae, et cum ille faerit septuag^nta, iste erit triginta octo et dimidiae, et cum ille ftierit octo- ginta, iste erit xlii. X VII XX xm et dimidlng XXX XVIIII et ditntdiiu XL XXV L XXX LX XXXIIII et di">i4inft T.XX XXXVIII et dimidlus LXXX XLII 149 Invenientur autem fractiones minores, cum vitmm po- situm fuerit in loco contiguationis eius cum aqua, quo- niam differentia refractionum, quae flunt inter haec cor- pora , non est m^gna. Differentia enim in subtilitate , quae est inter aquam et vitrum, minor est ea quae est inter aerem et unumquodque istonnu corporum. Verum possibile est nobis et iterum hic sumere quaitfitatem fra- ctionum dicut exponemus. Coaptetur semicylindrus vitreus (fig. 82) ciun planca aerea, et constituatur ita ut conservet positionem , qua centrum eius fiat idem centro plancae, et rursus parum coloretur locus in quo est ^, et erigatur planca in pelvi ad rectos angulos super superficiem aquae, in qua medietas illius est, et constituatur curvum latus vitri, super quo est tfc/, desuper, et efftmdatur in pelvi de aqua tantum quanto linea tel de semicylindro existat super aquae superficiem, et sumatur in subtilioFi humore, videlicet in aqua, quaelibet circumferentia \xigh, et iterum sit decem partium. Ponatur autem super h aliquod subtile coloratum, et aspiciatur cum altero oculorum, quousque res quae volvitur super circumferentiam a6, ut z, videatur secuDdum directionem puncti h et loci colorati qui est e. Quo ita disposito, protrahantur duae lineae eh, ez. Si ergo sumpserimus angulum qui flt in grossiori re, videlicet in vitro, qui dignoscitur per circumferentiam ab, inveniemus per hoc experimentum , quod angulus qui est in aqua et succedit perpendiculari, videlicet angulus^eA, cum faerit decem partiiun, nonaginta attributis recto angulo, flt an- gulus qui est in vitro, utpote angutus aei, novem partium •t dimidiae ad prope, et cmn angulus qui est in aqua, fuerit viginti^ angujus qui in vitro, erit decem et octo et mediae, et cum ilie fuerit iriginta, iste erit viginti septem; et cum ille fuerit quadraginta, iste erit triginta qainqtie;;^! OQm 150 ille fuerit quinquagiuta, iste erit quadraginta duaram et dimidiae ; et cum ille fuerit sexaginta, iste erit quadraginta novem et dimidiae; et cum ille fuerit septuaginta, iste erit quinquaginta sex ; et cum ille fuerit octoginta , erit hic Bexaginta duaram. X VIIII et dimidius XX XVIII et dimidlas XXX XXVII XL 4 XXXV L • XLII et dimidiufl LX xLVim etiUmidiui LXX LVI LXXX LXII . Decet ergo nos hic primum dicere imiversalem ser- monem, sicut fecimus in rebus quae recte videntur, idest quod res quae dicuntur videri super unam lineam , vi- dentur per unum et eumdem radium visus, quod de- bemus intelligere secundum accidens et non vere. Visuni enim prohibent res primo obviantes ei incidenti super res eis succedentes ; Qum enim visus non penetraverit primas res , res quae sunt retro primas , non apparent per radios praedictos. Manifestum est ergo illas non Tideri per alium radio^nim succedentium , et erit manifestam quod cum non apparuerint uni et eidem visui, gui, nisi tectus fuerit, videt primam rem, situs earam ad invicem rarsus erit rectus ; omnes enim coaptantur super poii- tionem ipsius visibilis radii. 151 Rurstis possibile est nobis dignoscere , quod in loco contiguationis aeris ad aetherem fit flexio Tisibilis radii propter diversitatem istorum corporum duorum , ex bis quae apparent, et sunt haec. Invenimus res quae oriun- tur et occidunt magis declinantes ad septentrionem, cum fuerint prope horizontem , et metitae fuerint per instru- mentum quo mensurantur sidera. Cum enim fuerint orien- tes vel occidentes circuli utique aequidistantes aequino- ctiali , qui describuntur super illas, propinquiores sunt ad septentrionem quam circuli qui describuntur super illas, cum fnerint in medio coeli; et quanto magis appropin- quant horizonti, habent maiorem declinationem ad septen- trionem ; siderum vero semper apparentium distontia a septentrionali polo erit minor, cym faerintin meridiana linea versus horizontem. Cum enim fuerint in linea me- ridiana in loco qui propinquior est puncto, qui QSt super caput nostrum, fit in ipso loco circulus aequidistans ae- quinoctiali raaior , in priori autem loco fit minor, quod accidit propter flexionem visibilis radii , quae fit a su- perficie quae determinat inter aerem et aetherem, quae debet esse sphaerica, et centrum eius est centrupfi com- mune universis elementis, quod est centrum terrae. Esto ergo prius punctus existens super capita aspicien- tium e (fig. 83), sitque maior circulus de his qui cadunt in sphaeris huiusmodi rerum, quas diximus, qui in terra quidem circulus ab, qui in superficie autem terminante aerem et aetherem sit gd; circulus vero qui transit per quaedam sidera sitez; centrum autem omnium sit pun- ctus V^, et protrahatur linea eah, sitque visus punctus a, et linea cadens super distinctionem communem horizonti et circulo gd linea adz; sitque iterum dt perpendicularis super circulum, et arbitremur adft esse visibilem radium 152 fractum a puncio d super kd, sitque stella super puDCtum k, et quia visibilis radius frangitur super loci superficiem ad locum remotiorem a puncto e, de linea erecta super su- perflciem, de qua flt flexio ad aequales angulos, erit utique angulus kdt, qui est in subtiliori corpore, maior. Videbitnr ergo stella a puncto e superlineam adz, et erit distantia eius a puncto, qui est super capita, minor quam vera di« stantia. Yidebitur enim in distantia quae est circumfe- rentia ez, vice circumferentiae ke. Quanto magis igitur positio fuerit sublimior » erit di- rersitas loci , in quo videtur stella , ad verum locum , minor; et si fuerit in e, non flet flexi6, quoniam a visi- bili radio , qui procedit a puncto a ad punctum e , non flt flexio ; iunc enim erit perpendicularis super superfl- ciem , de qua fit flexio. His itaque praepositis, constituatur circulus horizontis ^^9 ifi^» ^^) f 6t medietas circuli meridionalis , qui est super terram aezg; et punctus qui est super capita, site, et polus apparens de polis sphaerae punctus x; sitque sectio , quae est supra terram de linea aequidistante ae- quinoctiali transeunte per quasdam stellas bhd , sitque stella quae est super hanc lineam prope horizontem, penes punctum t ; et sit medietas circuli , quae est super ter- ram de circulo Iranseunte per punctum qui est super capita , et per stellam t semicirculus ketl. Quia igitur stella cum faerit prope horizontem , videtur propinquior ad punctum qui est super capita, quam ad verum locura suum , et differt a vero loco suo in maximis circulis % qui transeunt per punctos horizontis , locus utiqile in quo stella videtur, quae est super punctum l,eritinfer« et t, sicut apparet in puncto m, et linea aequidiatani a*- (Juinoctiali , quae transit per punctum m, magia declinabit 153 ad septeDtrionem quam linea aequidistans aequinoctiali, quae transit per punctum ( (qui est in parte nostra de climate habitato declinans ad septentrionalem partem), et cum stella fuerit elevata ad locum h, pervenit ad locum ubi refnngitur radius sine sensibili diversitate facta inter situm apparentem et situm verum. Item si posuerimus punctum z polum septentrionalem, et descripserimus ali« quem de aliis circulis aequidistantibus aequinoctiali semper apparentibus, ut circulum nsf, cum fuerit ulique steUa in puncto $ buius circuli , apparebit propinquior puncto $ , qui est super capita in proclivitate, et videbitur esse quasi in puncto o, et cum stella fuerit in puncto n, non accidit inde diversitas in situ, nisi insensibilis, et ideo cum stella fuerit 4n volutione sua prope horizontem , apparebit di- stantia sua a septentrionali polo sphaerae minor, et cum fuerit in volutione sua prope punctum qui est super ca- pita, appareblt maior. Sectio enim zn erit maior quam sectio os. Demonstrata est ergo causa, propter quam 0{>ortet id quod in stellis apparet, apparere propter fractionem visibilis radii. Possibile quoque esset nobis inspicere de quantitatibus istarum fractionum , et considerare illud in aliqua de re- bus, quarum distantia data est, utpote solis et lunae, et considerare magnitudines quae succedunt horizonti , et sublimitates quae flunt ex fractione visibilis radii, si di- stantia superflciei, quae est inter utraque praedicta cor* pora, esset cognita. Sed cum haec distantia, quae pr(^- pinquior est terrae lunari sphaera, ad quam terminatur aetber, ignoratur si est sicut distantia iam dictae super- flciei , aut est propinquior terrae , aut remotigr a con- tinuo ei corpori , impossibile est inde ratiocinatiou^m fieri, qua dignoscatur quantitas anguli, quM fltin d#^i- natione huiusmodi fractionum. 154 Verumtamen possibile est ex considerationibus olim factis dignosci generalem distinctionem de fractionibus tali modo. Res enim, quarum subsistentia est penes pun- ctum fractionis radii et perpendicularis cadentis a guolibet puncto in superflciem terminantem utraque praedicta dis- similia corpora, cum fuerint in grossiori corpore, et appa- rent maiores quam cum fuerint in subtiliori, eodem in utrisque situ conservato. tunc erit transitus visibilis radii a subtiliori corpore ad grossius ; aut flt e diverso , cum transierit a grossiori ad subtilius. Hoc autem ita dicimus , ut flexio sit eadem numero in unaquaque duarum specierum transitus , differat tameh in specie. In transitu enim eius a subtiliori corpore ad grossius, declinat ad perpendicularem; in transitu autem eius a grossiori corpore ad subtilius declinat ad diversam perpendiculari partem. Gum enim figura fuerit posita secundum plancam quam praetaxavimus , et fuerimus arbitrati quod diameter bd {fig. 85) est in superflcie, quae distinguit duo dissimilia corpora; perpendicularis autem aeg protracta et radius flexus versus perpendicularem, ut radius eh, cum quo com- prehendit angulum geh; situs utique flexionis manet unus et idem, cum visibilis radius transierit per punctum e, et situs visus fuerit supra punctum z; linea enim quae est post fractionem, videlicet linea ek, declinat versus per- pendicularem secundum processionem suam , cum res videnda videtur secundum rectitudinem; et si visus fuerit in puncto h, ei ez in subtiliori corpore , quod est bad, lineautique et post flexionem erit e diverso quam diximus, declinando ad diversam partem perpendicularis ae, ita quod remotior inde flt quin si visibilis radius procedat secundum directionem. 155 Rursus cum corpora et aDguU valde differant, augmen- tum fit maius guanto magis alterius istorum condensitas crescit. Si enim posuerimus circumferentiam bad in sub- tiliori corpore, et hgd in grossiori, et constituerimus an- gulum aez sicut est , cum fuerit in sectione bgd gros- sius corpus quam illud guod ibi erat, augmentum utique eius super angulum geh erit tunc secundum differentiam subtilitatis alterius corporum super alterum; angulus enim aejs cum fuerit in aere tertia pars recti anguli , angulus geh erit in aqua prope quarta pars recti anguli, {in f)itro vero , quinta pars recti anguli) et una de sexaginta par- iibus eius , ad prope , et erunt hic flexio et augmentum angulorum, qui succedunt puncto qui super capita est, maiora, quoniam substantia vitri spissior est quam sub- stantia aquae. Similiter etiam si posuerimus flexionem alterius Tisi- bilium radiorum in distantia altera quam ista a perpen- diculari ae, ut radii lek, proportio utique a/ ad ai erit maior quam proportio g k Sid hg, et permulatim erit pro- portio al aid gk maior quam proportio az ad pAr, et dis- iunctim erit proportio Iz a.i az maior quam proportio kh aii hg, et proportio l z aii kh maior quam proportio za ad gh, Possibile est autem nobis singula istorum di- gnoscere ex quantitatibus^in quibus invenimus flexiones &eri , si sumpserimus constitutos numeros , et per eos comprehenderimus singulas huiusmodi metas , ponentes numeros , secundum quod fecimus , in duabus circum- ferentiis az et al. Sed si*quis opposuerit dicens, qua de causain primis praetaxatis principiis de perpendicularibus et appiaritione rei videndae secundum directionem visibilis radii, coae- quatur haec species firactionis quam diximut , et firactio 156 quae flt a speculis; in quaniitatibus autem angulorum non ita flt, quoniam aequalitas eorum non pennanethic secundum habitum eius; dignoscetur responsio, et quod necessario oportet sic fleri per ea quae exposuerimus , ex quibus dignoscetur eliam res mirabilior, Tidelicet et cursus naturae in conserrandis actibus virtutis. Cum enim distinctio , in qua fiit hic motus visibilis radii ad superficiem , de qua fit fractio , et illic flt ex superficie ista, decet inde ut nobis videtur, fieri luc frt- ctiraem aliquam secundum directionem perpendicula* rium, illic vero fieri fractionem maiorem. Cum deberent alterae earum permanere in unaquaque istarum duamm specierum , et moveri supra unam lineam rectam propter divisionem , quae fit secundum aequalitatem recti an- guli, sed hic quoniam hoc fit propter validam fractionem, quae non manet in habitu suo , eo quod in reverberatio- nibus possibile est transitum fieri in eis cum elevantur, in flexionibus autem hoc non Qt , quoniam impotsibile est fractionem permanere secundum oppositionem et di- rectionem ; oportet inde fieri hic fractionem maiorem ex his quae flunt in maximis distantiis perpendicularium , illic vero minores. £t rursus quia in reverberationibus esset quantita& an- gulorum, per quam fit angulus contentus ex lineis» qoae propinquae sunt perpendiculari , et lineae proclivi , ae- qualis angulo, quem continent lineae remotae aperpen- diculari et a linea proclivi; oportet exinde in flexione an- gulum contentum a lineis propinquis perpendieulari et lineae proclivi aequalem esse angulo, quem rursus oon- tinent lineae, quae transeunt per sectionem porpendica- laris et lineae proclivis, ita videlicet: arbitremur super- fici#m de qua fit Cractio , et distinotionem commuBem 157 ei et superficiei , in qua refringitur visibilis radius , li- neam ahg {fig. 86) et dbe perpendicularem super eam, et /6 yisibilem radium, et radium refractum ad aeguales angulos zb , bh, et db secundum situm directum , %b autem secundum 6itum proclivem. Erit ergo angulus dbz sicut angulus dbh , et angulus abd sicut angulus ^bd. Gum igitur in flezion§ fuerit protracta quaelibet perpen- dicuIariB a cf 6 super perpendlcularem de, aut Qxzb quae est proclivis , si taliter fuerit , flt cum linea bt \n pun- cto b angulus zbd, Erit ergo secundiun directionem qui* dem zb super ib, secundum directionem autem bh sapor bSj et secundum modum istum tantum erit unusquis- que angulorum tbe^ ebs aequalis angulo zbd, sed si transitus esset super %bt, nullatenus fleret inde fralstio , cum oppositi anguli sint aequales; si vero transitus fleret per db, primo quidem nequaquam inde aocideret diver- sitas inter fractionem , quae flt a subtiliori corpore et a grossiori; hoc enim flt a perpendiculari tantum,sive quasi siursum recte sit declinans in utraque specie , quod non est necessario. Iterum coniunctio perpendicularium, quae flunt ex una- quaque earum, et lineae radiorum per quos invenimus locum formae rei semper utique extra corpus illud. Nos autem invenimus quod corpus continet formam , quo- niam perpendicularis quae procedit a quollbet punotomm, qui sunt super bl ai z, ut perpendicularis A;/m, sicut flt semper in effusione visibiiis radii , iungitur cum bz , ei insuper accideret etiam omnes visibiles radios procedentes a j^nctQ a semper fleri in uno puncto , cuius dietantia a superficie de qua flt fractio, est sicut distantia visus, qui est super perpendicularem per quam traneit , ut di- stantia ka, cum fuerit posita super visibilem radiun^ penes 158 puncfcum m; lineae euim quae procedunt a puncto tn et a puncto k, transeunt per unum et eundem punctum in linea ag, ut in l et in r» ex quibus anguli mrl et krl fljint aequales, cum sint ml ei kl aequales, et anguli qui sunt penes l recti, et cum fuerint fractiones ut istae, et sequuntur eas plures de magnitudinibus, quae «unt in isto loco; cum res autem, quae retro visum sunt, qequaquam apparucrint dissimiles naturae sensibilitatis, quamvis existens fractio ngn conservat hos angulos aequales, sed sint secundum aequalitatem anguli x&d ad angulumd^/i, statim utique apparet mutatio cum unaquaque ex dh et ab , non refrin- gatur valde ita, quod dividat angulum ab d in duas medie- tates , et disponunt has proclives positiones rectas et non fractas prope erectam. Similiter etiam quod arbitremur quod omnium visibilium radiorum transitus flt in puncto fractionis secundum perpendicularem, ut db et be, etquic- quid ceciderit super punctum b cum diversitate angulorum in aequalitate, rursus leviter invenietur sine proportioni- bus ; accidet enim radios erectos et declives , quomodo- cumque declivent, conservare uuum et eundem situm in flexionibus a superflcie prohibente. Loca etiam formarum semper essent super uuam superBciem, in qua Decessario iunguntur perpendiculares cadentes a rebus videndis et visibili radio incidenti super eas , sicut illae quae proce- duni ab sh, zt super b, Quod quidem aequalitas augulorum in tribus flexionibus necessario non debeat fleri, iam demonstratum est. Quod autem species augmeutationum comprehensarum non suscipiunt aliquam de prolatis controversiis, .possibile est dignosci per praedicta et per ea quae post disserimus; et ne prolongetur sermo, cum iam praetaxata habeamuR principia flexionum, quae debuerant praeponi, decet nos ' 159 dioere dudc coDiuDCiioDem fracti radii a visu procedeBtis, et perpeudiGularis cadeutis a re videoda iu superflciem, de qua flt flexio, quae est locus proprius uDicuique rerum vi- deudarum, et expouere dispositioDem iD uuaquaque flgu^ rarum plaDarum siibiectarum , et iucipere a rebus quae sumuDtur a visu secuudum praecedeutem situm, ut mani- festetur id quod volumus demoDStrare. PoDatur itaque prius distiuctio commuuis superflciei , quae distiuguit duo corpora, et superflciei iu qua estra- dius fractus liuea abg (fig, 87) , sitque visus d, et per- pendicularis cadens a visu sit da^, et i:adius proUivis dh t %i protrahatur a puucto h perpeDdicularis %hh , et frangatur db sive ad partem perpeudicularis, ut flt quando visus fuerit positus a parte subtilioris corporis , sitque flexio eius super ht; sive ad diversam perpeudiculari par- tem, ut cum aspexerimus a corpore grossiori, et sit flexio eius super kb. Erit ergo augulus dhz propter ea quae praeposuimus , maior quam augulus hht, et mioor an- gulo hhk ; et manifestum est quod dod coDveDiuDt per- peDdicuIaris dae et ht, uec perpeDdicuIaris dae et A6 ad partes puDctorum et, quouiam aDguIi hae^ abt insimul maiores sunt quam duo recti ; multo magis ergo non de- bent convenire lineae hky de, £t Qum superflcies quae distinguit duo coi^ora fuerit sphaerica , ponaiur prius curvitas eius a parte visus , et sit distinctio communis huic superflciei et superflciei guae iransit per radium fractum sectio ahg {fig. 88) de cir- culo , cuius centrum sit e et visus d , et protrahatur a puneto e perpendicularis transiens per visum, et sit ead^ et alia perpendicularis ad locum, a quo frangitur radius, sitque ebh, ei iungaiur utrisque linea db , ei frangatur • ad partem quidem perpendicularis ut tb , ad diversam 160 rero partem perpeDdicularis ut kb; kb ergo quanto magis procedit, maiorem habet distantiam a linea ead; bt autem quandoque erit aequidistans lineae ead, et quandoque iuDgitur ei a parte ^^ et quandoque ftt remotior; angu- lum enim aeb possibile est quandoque esse sicut an- guium ebt, et erunt utraeque lineae aequidistantea , et quandoque maior illo et iungitur ei , quandoque vero mi- nor, et magis inde elongatur. Rursus describamus concavum speculum, cuius con- cavitas sit versus visum, et sit abg, et centrum eius d, tritque visus e^ primo positus inter centrum et superA- ciem speculi, et protrahatur perpendicularis taM, «itque radius proclivis eb, et protrahatur perpendicularis db pro- cedens ad h, et frangatur mdius eb ai partem quidem per- pendicularis super &f, ad diversam vero partem perpen- dicularis super bk. Manifestum est ergo, quod unaquaeque ex bt, bk quanto magis procedit in parte t, k, elong^tur magis a bh. Distantia ergo earum a linea da% erit maior quam a 6A. Itaque quanto magis protendentur » ftant re- motiores sl daz. Hursus esto centrum inter e {flg.90) et circumferentiam abg, et flectatur efr ad partem quidem perpendicularla «u- per br, ad diversam vero partem perpendicularis flectatur super bk;bt ergo quanto magis procedit ad partem § uacti t, elongatur ab edz; angulus enim dbe maior est angulo hbt; linea autem bk quandoque flt aequidistans lineae #a«» et quandoque iungiiur ei a parte punctorum k, x, et quan- doque magis inde elongatur. Possibile est enim fteri an- gulus kbh, qui est maior angulo dbe, quandoque aec()BLali8 angulo adb, sicut flt quandoque utraeque lineae fuerint aequidistantes, et quandoque maior, sicut flt cum ut^eque lineae protractae iunguntur sibi invicem, quandoque vexo 161 minor, ut fit cum utraeque lineae quanto magis procedtint, magis a se elongantur. Possibile est autem non iungi perpendicularem cadentem a visu in superficiem^ de qua flt flexio, et lineam flexam, sive cum fuerit superflcies curva et curvitas eius et subtilius corpus fuerint vevsus visum, sive cum iatus concavum fuarit versus visum, et centrum sit inter visum et superflciem, grossiuft quoque corpus fuerit versus visum; aliter enim minime fleri potest. Nunc autem volumus demonstrare habitum de coniun- ction« p^rpendicularis cadentis a re videnda in praedictam superflciem et radii flexi. £sto superflcies prius plana, et sit distinctio communis huic superflciei , et superflciei quae transit per radium flexum linea abg {fig, 91) recta, sitque visus 4, et radius proclivis dbi, et ptotrahatur a puncto b perpendicuiaris super a6, et sit z&/^, 6t flectatur db ad partem quidem perpendicularis super 6<, addiver- sam autem partem perpendicularis Super kb, sintque res videndae in t et in k, et protrahantur ex his ad bg duae perpendiculares kl, tg^ quae semper iungantur lineae db, angulus enim abe maior est angulo recto; anguli autem, qui Bunt penes ^ et ^, sunt recti. Rursus superflcies unde flt flexio, esto circularis» et sit curva pars eius (fig. 92) versus visudoi, sitque visus d, et iterum producatur db L Lineae ergo quae copulant aliquid de rebus, quae ponuntur super kb et inter xh, ut kh, samper secant bl; lineae autem quae copulant aliquid de his quae sunt super bt et %h, nX th, quandoque erunt aequidistantes lineae dbl, et quandoque obviantes ei in parte t,l, quandoque vero elongantur magis ab ea. Pos- sibile est enim angulum htb quandoque esse sicut angu- lum Ibtf et quandoque maiorem et quandoque minorem. 11 162 Iterum concava pars ponalur versus visum secundnm quamlibet duarum specierum positionis visus » et pi*o- trahatur radius dbl (fig. 93), et existimentur esse res vi- dendae super bt et super kb; secundum utrosque igitur modos praedictos de positione, perpendicularis cadens a re videnda, quae est super bt ut tg, secabit radium bl; perpendicularis autem quae procedit ab aliqua de rebus existentibus super kb, ut km, quandoque erit aequidistans dbl, et quandoque iuncta ei a parte A;, /, quandoque vero magis remota. Possibile est enim angulum kbl quando- que fleri sicut angulum bke , et quandoque maiorem et quandoque minorem , secundum quantitatem rei quae videtur in k, Et hic etiam possibile est non iungi praedictas lineas, videlicet radius flexus perpendicularis cadens a re videnda in superflciem de qua flt fleiio , nec erit locus formae determinatus , quod utique possibile est , cum superfl- cies, de qua flt flexio, fuerit circularis, et curvum latus eius et subtilius corpus fuerint a parte visus , vel cum fuerit concavum latus superflciei , et corpus grossius versus visum. In universis autem reliquis modis lineae quas diximus, semper iunguntur; sed cum non convenerint, accidit ite- mvti visui sicut accidit in speculis de passione, quae flt in eis penes coniunctionem , excepto quod locus in (juo flt positio rei , non erit terminatus , sed transfertur ad locum communem perpeudiculari et superflciei , de qua flt flexio, et suscipit formam rei videndae, et erit conti- nuum ei in situ et in corpore quod visus penetrat. Gum itaque haec determinata habeamus, decet nos con- siderarc de diversitatibus formarum in unaquaque specie, et videre si hoc invenietur concordans principiis , quo- 168 rum positiones praetaxavimus in rebus quae videntur se" cundum directionem visibilis radii. Experientia autem eius guod tali dispositioni appariet, facilius cognoscitur, cum visus fuerit in subtiliori cor- pore. lUa enim, quae de his, guae in coelo sunt, vide&iur ex magna utique distantia, cum fuerint metita cum an- gulo guem continet perpendicularis et radius flexus, ha- bent f quo fit, flexio valde parva. Qua de causa, et quia diversitas quae est inter essentiam aeris in quo sumus, et a^therem in quo sunt sidera, non est magna, diffici- liter comprehenditur id quod ex diversitate accidit in formis suis. < Similiter etiam est habitus in difQcultsite comprehen« sionis rei , cum aperiet aliquis oculum suum infra aqnam et aspexerit. Si vero voluerimus aliquod corpus, qtiod visus penetrat, ponere contiguum visui, ita quod inter eos nihil sit de aere, cum impossibile sit ut possit hoc fleri, non videbitur aliqua rerum. Visus enim tunc ante- quam procedat , et faciat transitum ei proprium , debili- tatur propler oppressionem illius corporis, praesertim cum iransitus eius non sit brevis. Et quia impossibile est ostendi diversitates forinarum, sicut possent ostendi diversitates rerum quae recte videh- iur, dignum duximus loqui dehis quae manifestius inde apparent , posito visu in corporibus subtilioribus , et sic dignoscetur quid oportet fleri in rebus quae sunt e cAn- verso; hinc enim, cum his quae inde demonstrabimiis, ma- nifestum erit alterum, quoniam cum demonstraverimus in uno praesenti modo ea quae debent in eo accidi , in altero utique accidet sicut et in hoc. Et ut universalis consideratio inde flat , decet nos con- stituere tria vasa de vitro subtilissimo, Ut sint penetrabilia «64 visui, quorum unum habeat coDtinenlem superfioiem tam«- quam flguram cubi ut illa, in qua superscriptum est a; secundum vero babeat flguram cylindri, ut illa in qua 8uper9criptum est b; tertium vero babeat undique flguram cubi praeter in uno latere , illo videlicet quod erit oppo- situm visui, illud autem sit concavum secundum figu- ram cylindri, et sit profunditas eius lamquam medietas sphaerae sicut figura, in qua scriptum ast ^. Cum igitur voluerimus habere formas particularium rermn , debemus prius , considerantes de diversitatibua formarum cum superfloies quae distinguit duo corpora, faerit plana, replere vas cubo simiie aqua puriaaim«a. et ponere visumMn oppositione alicuius laterum eiua» et inuaittere in profunditatem eius regulam moderatae la- titudinis, quae sit erecta ad aequales angulos , cuiua-lou" gitudinis pars sit supra aquae superficiem. Cum ergo ereiie- rimus ibi regulam ad rectos angulos, erit forma procedena secundum rectitudinem partis regulae , quae est supra aquam, tamen apparebit propinquior et maior quam res vera, et habebit similem illi figuram. Quod autem singula istorum ita debent fieri, dignoscotur secundum quod exposuerimus. Esto distinctio conponunis superflciei aquae et superflciei , de qua flt flexio radii , linea abg {fig, 95) recta , et visus sit d» et protrahatur radius db, ei transeat par punctum b perpendicularis sibh^ et flectetiu* d5 ad partem perpendiculari3 super &<» sicut accidit cum visus fuerit in subtiUori corpore , et pro- trahatiu' a puncto t perpendicularis ad ag ^ et sit tkg. Videbitur ergo res quae est super punctum t iu k, e% quia lineae db, bt insimul maiores sunt quam Unaa cibji;, angulus enim bkt est obtu^us , erit distantia fona^e rei vidandae minor quam distantia verae rei; et cum pratra- m xerimus btl, et po&uerimus rem videDdam 8uper I, et protraxerimus ab eo perpendicularem Imn super aff^ &At forma / in loco m, et forma quae yidetur super punokum m , erit remotior guam forma quae videtur super pun- ctum k non erit remotior simpliciter, 8ed secundum quod ei pertinet in proportione. Quia ergo tg et In in plana s]aperflcie sunt aequidistantes , erit utique proportio mn sd kg sicut proportio mb Siikb, et proportio i( ad ffr ea« dem, et erit proporlio mn ad kg sicut proportio Ib ad bt; demonatratum ost ergo id quod accidit in re quae appaxet, cum vi$ULS fuerit in subtiliori corpore. Cum fuerit autam visus positus in grossiori corpore , proportio distantiae ad distantiam erit similispeifea quae diximus; distantia vero figurarum rerum videndarum erit maior quam distantia rerum verarum. Si enim posuerimua lineam btl qu^ sit flexa, constituens angulum Ibk maiorem angulo dbz, proportiones utique distantiarum remana^ bunt ad invicem in statu suo, proportio enim distantiae ( ad distantiam t rursus erit sicut proportio distantiae m ad distantiam k, In unaq^iaque autem earum fit e diverao ; positio enim t, quae est res videnda, erit propinquior qiiam torma sua quae est k, ut positio / propinquior quam forma 8ua quae est m. Rursus protrahantur a visu d (fig, 96a) duo radii ad li- neam ga, et sint da, dg^ sintque a lateribus perpendicu* larisdi^d, et flectantur ad diversam partem perpendiculiaria, super az, hg, et contineant aliquam magmtudinem, quae ait linea copulans terminos magnitudinis zth, et eopulentur lineae dz, dh. Manifestum est ergo quod angulus adg eat maior angulo zdh, quoniam flexiones decliuant ad divar^ sam partem perpendieiUaris, et videbitmr zh cum maiori angulQ, dislantia et positione manentibua in eodem strtvi. 166 Hinc ergo res quae eunt in aqua, semper debent yideri maiores, guam si viderentur in eadem distantia et in ea- dem positione, et aspicerentur directe. Sed cum res e couTerso guam *dizimu8 se habuerit , ponatiur flexio da {fig. 96b) et dg declinans Tersus partem perpendicularis, sicut accidit cum visus fuerit a parte gros- sioris corporis. Cum ergo copulaveiimus lineas dx, dh, erit angtilus zdh maior quam angulus adg, et ideo debet videri res vera maior quam forma. Hursus erunt formae in flgura similes flguris rerum ve- rarum aliter secundum quod decet, videlicet quod radius dae (fig. 97a) et radius dbx et radius dgh, cum mius- quisque fuerit flexus versus partem magnitudinis exh, et faerint productae perpendiculares et , xk , hl , et iterum protractae fuerint lineae dam , dbn, dgs, forma utique lineae exh erit super lineam quae transit per punctos mns, et erit proportio tm ad kn sicut proportio et ad xk, et proportio ikn ad s/ sicut proportio kx nA Ih , ei prb- portio tm aii sl sicut proportio et ad Ih, Similiter etiam erit in universis speciebus positionis, cum enim augmenta ^et, kx, Ih constituunt aspectum lineae exh tamquam re- ctae lineae, augmenta mt, kn, sl constituunt aspectum lineae, quae transit per punctos mns rectum. Si vero praenominata augmenta constituerint lineam cur- vam, ista constituunt iterum aspectum formae curvum; quod si illa constituerint lineam concavam, baec iterum constituunt aspectum formae concavum. Similiter quoque accidit , si posuerimus flexiones ad partem perpendicularis aut ad diversam illi partem , se- cundum quod est in flgura [fig. 97 fr). Si vero perscrutati fuerimus diversitates positas secun- dmi praedictum modum per vas , cuius figur^ similis est 16*7 cylindro, et visus fuerit oppositus curvae superficiei, re- f[ula quoque , quae in illud immittitur , faerit constituta super totum diametnun, qui visum determinat, inrenie- mus tunc in transUtione formarum augmentum distan- tiae , sicut apparet a sublimiori parte regulae secundum^ positionem, quae est inter visumetaxem; etidquodest extra axem , erit remotius , et distantiae magnitudinum semper erunt maiores; figurae autem habebunt maiorem curvitatem in ezteriori parte azis, et habebunt maiorem concavitatem , cum fuerint in interiori parte axis. Nihil vero ex his apparebit nec manifestum erit propter coar- ctationem distantiae coniunctionis , in qua videtur forma, quae coarctatio procedit ex debilitate visus. Gausa autem qua debet hoc fleri, haec est: Esto di- stinctio communis, curvae superficiei aquae, et superflciei per quam transit flexus radius, sectio circuli abg {fig, 98 a) ^centrum eius d^ visus autem sit punctus e, et copuletur linea ead, et protrahatur linea ebZf et copuletur linea db, et flectatur0&, ad partem perpendicularis superlineam&fik, et protrahantur lineae dl, dh, siiqae dl erecta super «ad ad rectos angulos, et protrahantur super eam perpendi- culares^m, ts, kn, hl; angulus itaque dez constituit an- gulum zbd obtusum, et angulus hbk constituit angulum bkh obtusum. Erit ergo forma t penes z, et forma k penes h, secundum id quod proprium est distantiis. Tamen forma t est propinquior z, quoniam ts minor est quam zm, et forma k est remotior h, quoniam Ih maior est quam nk. Et cum posuerimus visum a parte grossioris corporis, flt flexio ad diversam partem perpendicularis in flgura {fig. 986) simili huic, translatio enim similis est praece- denti; distanliae vero erunt e diverso, forma enim quae 168 est infra, erit remotior, et forma quae est extra, eritpiO' pinquior, quoniam ts est maior quam xm, et Ih est roina quam kn, secundum quod in figura apparet. Rursuspro- trahatur perpendicularis ax Reliqua huius sermonis non svnt inventa. 169 TEXTDS II OPTICAE PTOLEMAEI ERRATA SIC C0RRI6E Pag. 63 lin. 9 puncti bd puncti bf d » 89 » 24 et angulHS hgt et anguluB hgd j> 159 » 17 super kb Buper bk » 20 (^06 et A& dae et bk » 21 punctorum et punctorum e^ty k » 160 D 10 et sit o&^ et sit abg (fig. 89) » 17 ex&<,&ft ex bty bkf » 162 » 24 in speculis de passione in speculis, de passione » 164 » 2 ut illa, in qua ut illa (fig. 94), in qua » 24 abg (fig. 95) ahg (fig. 95 a) j» 165 » 16 btl quod btl (fig. 95 6) quod VOtHea di Totomeo. t . y 171 INDICE InTRQDUZIONB PaG. III Note alla Introduzione d xxxix PTOLEMAEI OPTIOA » 1 Amirati Eugenii siculi in Ptolemaei Opticam: Prefatio » 3 Opticae Ptolemaei Sermo primus (deest) y> y> Sermo secundus » 7 2> 2> Sermo tertius j> 60 2> D Sermo quartus 3> 97 D 7> Sermo quintus » 142 Errata corrige ........... » 169 I 'i ■r i n FM Optic.Sernio IF 4S, \pa^. MS] //^ l/Jir^. ^03] 52. [joa^. 107"\ 56. \j>ag^ Ji2\ i 53. \pcuf. iOa\ 57. \jMff. Hf\ 57.6 \p r«*.r 9 50. \joa^,JO^ 54. ]jD^.m~\ b 5S. Sjxi0.ii5\ h Jl \pag. I07\ 59. [jcHtff. il6\ ^ k e Toruruo. Lii-.^E^ Doi^en. Tta, Opiic. Semuf IT 60. \jya^. Jlff] h n s. ""^-•t \ \ \ ■- \ '\ \ m / i _k 61 [pcz^. li^ 65. \jya:€f.J22\ I 69. ^tc^. y^J^J i L 63. \pa^- -120^ 67. ^gr. i25\ 7i.]^aff.j2S\ I, w Ptol. OpUr.Sernw n 72. Vptr^. J^^< j. 2j \ JS.Vpaif. JJ7~\ 76. r ypa^. /37^ A- Jf I I , ' / ■I \ / / TIh; \ / TM, OpUc. Semw IF 60. \j;>aff. Ii6\ 71 \ \ \ / h _k 1 e 65. \j>acf.J2f\^ 69. \j>a^. J2^^ h ' 63. "^pag. i2^ 66. \jjaff.J24\ 67. ^gr: i25\ Ptol. OpUc . Sa-m» If 72. 73. 7.9.rpa^. /J7~\ n< \ s / 62. [pa^.lif^ 63. \pag- i20^ Toi-ino.LU. J-'iSI3o!/en,. riol ■ Optic. Sertiio / l!f . fuftf i^'^ TahM Hl . jHttfi^tt 82 juof.i(t!^ Tormo.LU:T'!^J>oifm . l'loi (fptit . Scriiuf I '. ~!f . /""/ /// i Phil Oplic. Sermo /'. thltl liH r z 92. ^ i.utfj.tsi a 'l't. itfffj. /A/ t I // Old < pntfJfiH Jj .h itfur. Iit6 nu Pt»l. OpUr.SernwIF 72, •rn 7. 7S.^agr' i^7\ ' / / / \ / / n-K \ / y lab. m .*] 77. Ypa^.jjJ^ H- ■ \ \ \ 7^. "[jo^ig. 13i\. _j 7S. ^a^. iJiO\ m f^-.. .. rt'. TY^rtTW. LiJ.F^Dcj^ Flol . Optic. Srrnio I '. HO. JHKf l^t't a 1.9 . /urtf. l!t't TaJbXIIJ 89. f>€lff.i(iO. \ W. [jja^JsA Tormo.LU.r^J)oyfn. Ptol . Oplic Srrmo V. \Z 91. IHIlf t(H \ ! N x|^ y / (f 1^!*^ j ! f \^*^**^ 1 • \ ^^^^^l^v^ 1 \ ^^^ 1 \ '■■■••.. > . ' 1 \ « 1 Z j^. ^ fjofj.jfi \/i «// /*fff/- if'1 / tj Sjn . I ptnj thk <. a ftatf. 166 ^ r JJ.h .pfOf./6ff'^ TaJb.lX. .93.a \jjfiff.WJ 1 $3.b ^r,.tfrUi9'\ j xf5}/ I jjcui l€'t jp.a. I na^. 165 \k m %b. \j.Mt0.i66\ 98. h. \juig loT Torvao.Lxt«T»^ Do\j%^ ^ ^ I